227 2

227

6.4. Metoda siecznych

2 Opisać metodę Illinois w Algol u lub Fortranie.

' Zastosować algorytm Illinois graficznie do równania z rys. 6.4.1, zaczynając od _a    Porównać wyniki z zachowaniem się metody siecznych i metody reguła

££dlaW> samego równania.

4 Metodę siecznych otrzymano, przybliżając /'(*„) za pomocą interpolacji liniowej _m punktów    > X-/„)- W* używamy też informacji X _2ł/,_₃). to /*X)

można przybliżać za pomocą interpolacji kwadratowej.

(a) Korzystając z wzoru interpolacyjnego Newtona (§ 7.3.3), pokazać, że powstałą metodę iteracyjną można opisać wzorem

L

X_ą+ | ⁼ X_a    j

O)

tdzk

O) =/ [.X_n. X,,- _L] + X “ *«-1)/ X -    1 • *-- 2] •

(b) Wykazać, że jeśli x„₊, byłoby określone inaczej, jako zero tegoż kwadratowego wielomianu interpolacyjnego, to zachodziłaby równość

__^_

*^s+1    oj±(o>²—4X../[x„. X,-!, x_n_₂l)^lf2

Jest to metoda Mulic ra- Trauba.

5. W metodzie Mullcra-Trauba używa się trzech punktów do określenia współczynników paraboli interpolacyjnej. Te same punkty mogą posłużyć do określenia trzech współczynników funkcji wymiernej

bx-ł*c

Można wtedy zbudować metodę iteracyjną, w której x,,_{+ 1} wybiera się jako zero funkcji 9(x), tzn. x,_,=a. Stosując twerdzenie z geometrii rzutowej orzekające, że dw^stosunek czwórk; dowolnych wartości x jest równy dwustosunkowi czwórki odpowiednich waności 9{x) (Householder [79], $tr. 159), otrzymujemy równanie

(0-/J/(0—L-z)    ^Xs i-x_n)/(x_Btl-x_ł?-.)

(fn~ 1 -DHL-1 -L-:) X-1 -x*}/X-i “*»- 2)

. Pokazać, że jest to równoważne obliczaniu x_n+, ze „zmodyfikowanej metodv ręcznych”, w której

*«-rl **„-/■

fr-L-

, . -y r /    li

gdzie L-2=L-2~

J L-**-! > ^xn-2

llżywając wyniku z (a) w\ kazać,że jeśli sgn(/.)= -sgnljn-a) * sgn(/[x„, x„_₁]) = *^gn(j «. ^-2]): to x,,. , e ;nt(x,_₂, xj.