228 2

228

6. Równania nieliniowe

(c) Powyższe wyniki sugerują, żeby w metodzie Illinois przyjąć

fi (fi>0). ł <0«O),

gdzie fi=

f [^«+1»

Wypróbować tę modyfikację w przykładzie 6.4.1.

6.5. Ogólna teoria metod iteracyjnych

Metodę Newtona i metodę siecznych można uważać za przypadki szczególne nastę. pującej ogólniejszej metody iteracyjnej. Niech x_n+1 wyraża się przez wartości funkcji f(x) i jej pochodnych w m punktach x„,    Piszemy

*.+ 1 = 9 (*«.*.-! i nazywamy ę funkcją iteracyjttą.

Przykład 6.5.1. Metoda Newtona:

Metoda siecznych:

<p(x)=x-

/(*)

f\x)

?(*, y)=*-/(*)-

x-y

Ogólna teoria metod iteracyjnych jest najprostsza, gdy m= 1. W tym przypadku

*.+ i = ?(*.)

i mamy do czynienia z metodą iteracyjną jednopunktową. Ponieważ w tym paragrafie

ograniczymy się do przypadku m-1, więc przymiotnik „jednopunktewa^-’będziemy opusz*

czać. Załóżmy teraz, że mamy ciąg {*,,} utworzony dla pewnej wartości początkowej x₀ i żc lim x_B—cc. Jeśli funkcja tf(x) jest ciągła, to

a= lim x„₊₁ = lim ę>{A„)= p(^a)»

n— za    a-»sc

tzn. graniczna wartość z jest pierwiastkiem równania x=ą(x). Inaczej ir.ówiąc, aby-dreS dować metodę iteracyjną rozwiązywania równania /(.x)=0 możemy je przekształcić ₍ postaci x-ip(x)\ określi to metodę iteracyjną x„+i^<p(x„).

Przykład 6.5.2. Równanie x³—x— 5 = 0 można napisać np. w postaci gdzie ę>, (x)=x³ - 5, <p₂(*) = \*x + 5, <Ps (*) = 5/(x² - 1).    HI

Równanie można napisać w postaci x=<p(x) na wiele sposobów'. Jak widzi^j^/ w rozdziale I, nic zawsze możemy być pewni, że otrzymaliśmy metodę zbieżną* f™ {*„} może być rozbieżny nawet wtedy, gdy x₀ jest bardzo bliskie pierwiastka. P< twierdzenie zawiera warunek dostateczny zbieżności: