238 2

238

6. Równania nieliniowe

W powyższym zadaniu stosuje ssę m. in. metodę Newtona i metodę siecznych. N* zbędne wartości wielomianu i jego pochodnych można wygodnie obliczać za p_0m wielokrotnego dzielenia syntetycznego (zob. § 1.3.2), stosując wzory

	/>(**) =	*>-• P'(Z4) = C,.	1. p\W	= 2\du.
gdzie	^= >		(ł-1.2,	.... n),
(6.8.2)	c0 = bo.	^ci~^ci- 1 Zfc + Ó,	(i*l,2,
	d0=c0.		0-1,2,	.... n-:

Liczba działań arytmetycznych potrzebnych do obliczenia //(z*) jest prawie taka sama jak dla p(z_k). Dlatego zgodnie z regułą podaną na końcu § 6.4.1 metoda siecznych e .t w tym zadaniu lepsza niż metoda Newtona, jeśli tylko można uzyskać dostatecznie dobre przybliżenia początkowa wszystkich pierwiastków'. Często jednak tak nie jest i wtedy żadna ze wspomnianych metod nie jest szczególnie dogodna. Ważne jest zatem, aby wybrać pewną metodę mającą własność dobrej zbieżności globalnej.

Do metod dobrych pod tym względem należy metoda Ueracyjna Iagtterrća określona wzorem

^__np(gfc)

P'(2*)±V//(**)

gdzie

(6.8.3)    H<z).-(» -1) [Oi - l)(p'(z))² - rtp(z) p"(z)].

a n jest stopniem wielomianu p{ż). Nie uzasadniamy tu tej metody; zainteresowany czytelnik może zaznajomić się z nią np. w książce Householdera f79j. Znak w mianowniku powyższego wyrażenia należ}-- wybrać tak, aby |z_i+1 -z₄| było jak najmniejsze. Metoda Lagucrre'a wymaga obliczania p(z_k), p‘(z_k) i p"(z_k) w każdym kroku. Można wykazać, żc jest ona zbieżna sześciennie dla pierwiastków pojedynczych, rzeczywistych lub zespolonych. Dla równań algebraicznych mających tylko pierwiastki rzeczywiste metoda Laguerre’a jest zbieżna niezależnie od wyboru przybliżeń początkowych. Przypuśćmy, że pierwiastki są uporządkowane tak, że    Jeśli przybliżenie początkowe

z₀ leży w    aj), to metoda Laguerre’a jest zbieżna do jednego z pierwiastków ccj-y

aj (J— 2, 3.    w). Prócz tego, jeśli z₀<sc_l lub z₀>a_H, to metoda jest zbieżna odpowiedni

do aj i a*.

Wszystkie te metody (siecznych, Newtona, Ląguerre’a) można stosować dla pierwiastków zespolonych. V,' ważnym szczególnym przypadku, gdy wszystkie współczynniki ^aó^t a_lt,..,a_a są rzeczywiste, wzory (6.8.2) są niezbyt efektywne. Koszt obliczeń można znacznie zmniejszyć, korzystając z dzielenia przez czynnik kwadratowy

(z-z_t)(z—Sfc)=z²-2z Refjfcj + lzAl², który ma współczynniki rzeczywiste (zob. zadanie I na końcu § 6.8).