230 (49)

MEIODY Ni: MERVCZNE

(2) funkcja u określona w [0, /] i utworzona z wielomianów danych na poszczególnych elementach t, była funkcją ciągły. Mówimy wtedy, że sklejanie jest ciągłe.

Spełnienie warunku (2) gwarantuje, że c C[0, 1], co jest wymagane w definicji Postać parametrów węzłowych zależy również od potrzebnej regularności funkcji v określonych w [0. /], od tego jak regularne powinno być „sklejanie” wielomianów z poszczególnych elementów. Problematykę tę ilustrujemy na przykładach rozpatrywanych dalej.

Podamy teraz sposób wyznaczania funkcji bazowych w Omówimy oddzielnie przestrzenie elementu skończonego Lagrange'a i IIennitc’a. W przestrzeni Lagrange‘owskiej za funkcje bazowe przyjmujemy y'-' e \ które spełniają warunek

i, p = 0,.... m j_yr = 1, .... s

z pominięciem funkcji powtarzających się (wspólne węzły'!). Z tego zbioru odrzucamy funkcje ę>⁽,⁰⁾ i <oj^m) odpowiadające węzłom <2j⁰⁾ = 0 i — I, jeśli w tych punktach rozwiązanie jest znane. Tutaj <§_jp jest symbolem Kroneckera, i jest numerem elementu, j zaś — numerem węzła na e,. Oczywiście tak określone funkcje są linicw^rc niezależne.

W przestrzeniach Hermite’owskich elementu skończonego w węzłach może być danych po kilka parametrów węzłowych — wartości funkcji i jej pochodnych do odpowiedniego rzędu. Dlatego z danym węzłem może być związanych kilka funkcji bazowych. Mają one spełniać warunek: funkcja odpowiadająca ustalonemu węzłowi i parametrowi węzłowemu ma wszystkie pozostałe parametry węzłowe równe zeru. Wartość tego ustalonego parametru ma być równa jedności.

Na przykład jeśli w węźle Q^{p mamy dwa parametry węzłowe - wartości funkcji o i jej pochodnej, z(0'p) i Dv (Q\^iy), to z tymi węzłem związane są dwie funkcje bazowe ę>\° i <p⁽p. W ustalonym węźle Qj^} mają one spełniać warunki

<n (QT) - i, o<pT (Q?) = o; (Q'h = o.    (Q/’) = i

zaś pozostałe parametry węzłowe tych funkcji mają być równe zeru. Wyznaczone v»' ten sposób funkcje dla wszystkich różnych węzłów (z wyjątkiem brzegowych, dla których znane jest rozwiązanie) tworzą bazę przestrzeni V^\ Dalej rozpatrzymy kilka przykładów ilustrujących powyższą konstrukcję. Dodajmy jeszcze, żc wymiar przestrzeni jest równy liczbie parametrów węzłowych.

Przechodzimy do konstrukcji przestrzeni V‘_h^kt dla k = 0, 1,2, 3.

(a) k = O. Przestrzeń K^⁰⁾ jest przestrzenią funkcji przedziałami stałych i zerujących się w punktach brzegowych, więc t' e V^,t[^c> jest równa

^v c, = const, i = 0,.... m

Aby jednoznacznie określić t>, wystarczy wybrać po jednym węźle Qf na każdym i<2"‘ e e_h i podać w nich wartości v. Niestety tak określona w [0, f] funkcja v