231 2

231

6.5. Ogólna teoria metod Iwracyjnych

Przyklap 6.5.4. Powyższe informacje dają alternatywny dowód tego, że wykładnik

. _A vi metody Newtona dla pierwiastków pojedynczych jest równy co najmniej 2. zbieżno^-

fstooiie, W*W

. .    /(*)    . J(x)J"(JC>

tóiitf jest pierwiastkiem pojedynczym równania/Or)=0, to/^;('a)#0, a wobec tego ę>'(a)=0.

Ćwiczenie. Pokazać, że jeśli mamy również /"(«)=0, to wykładnik zbieżności metody Newtona jest nie mniejszy niż 3.

Vfożna by sądzić, że trudno zbudować metody iteracyjne o dowolnie wysokim wykładniku zbieżności służące do rozwiązywania równania /(x)=0. Istnieje jednak wiele ogólnych sposobów konstrukcji takich metod. Jednym z nich (podanym przez Schrodera sv 1865 roku) jest przyjęcie, żc ip{x) = x+h(x), gdzie

f-i    f(x)

/«(*)■=-k(x)+ X c_k(x)u^k(x),    uO)=—-

fc-2    J W

Można znaleźć funkcje c_fc(x) niezależne od p i takie, że metoda iteracyjna = K*«) ma wykładnik zbieżności p. W szczególności

c₂=-a_2> c₃ = -(2ai-a₃), gdzie

Te dwa współczynniki dają metody o wykładniku 4 i 3. Dowodzi się, że każda metoda iteracyjna jednopunktowa o wykładniku p wymaga obliczenia p wielkości/(*„),/'(x_n), ... •••»/■'^p~^(x_r). Dowody tych twierdzeń przytacza Traub [89]. Metody dla p>3 są praktycznie interesujące tylko wtedy, gdy wyższe pochodne funkcji f{x) można łatwo obliczyć.

•    Zadania

• • Należy rozwiązać metodą iłeracyjną równanie x + lnx=0 mające pierwiastek Można wybrać jeden z następujących wzorów iteracyjnych:

II: x„₊₁=^|-lnx₁,;    12: x_u+, = e *' :    13: x_J,₊₁=i(x,+e~^Jt").

l^a) Którego z tych wzorów można użyć?

(b)    Którego z tych wzorów należy użyć?

(c)    Podać jeszcze lepszy' wzór.

Zamierza się rozwiązać równanie 2x=2^x, stosując wzór iteracyjny

x_H+t^h

^ezV » do czego jest zbieżny ciąg przybliżeń dla różnic wybranych x_c.