232 (71)

ZSZ'

§ 6 6. Wartość pr*

_E(X)=100_J^,ig+IO-7f,-si?ś-^<)-o daje *=1.25.    Wcżmv pod uwagą zmienną losową.

*» ”■* •

ławce i stąd    ,« -

£(X) = (100-ł-s)-_Iy_S+00 + s)-

po rozwiązaniu 5=1,25.

> daje

Zmienne losowe jednowymiarowe

Jak ustalić ciężar nominalny jednej puszki, aby sklep był sprawiedliwy _w do siebie i klientów, tzn. aby nie stracił ani nie zyskał na ciężarze po sprzedaniu towaru?    ^ał^te_r.’

Rozwiązanie. Możemy uważać, że zmienna losowa przyjmuje wartości x . n_k

podobieństwami — . Nominalny ciężar puszki powinien wynosić E(X):    *

E(X) = 0,0110.4 • 5 + 0,5 • 44 + 0,6 • 29 4- 0,7 • 20 -f 0,8 • 2) = 0,57.    i

Łatwo sprawdzić, że jeżeli sklep sprzeda każdą puszkę jako ważącą 0,57 kg, to ₀ft*, pieniądze za 0,57-100 = 57 kg farby. Rzeczywisty ciężar partii również wynosi 57

Przykład 6.6.4. Rzucamy sześcienną kostką do gry. Obliczyć wartość liczby wyrzuconych oczek na kostce.

Rozwiązanie. Rozkład zmiennej losowej X, przyjmującej wartości ^ri»voc foi- ¹ oczek na kostce, jest znany (/>,=%, / = 1.2, .... 6). Obliczamy:

£(*) = i>p*-S(l+2 + 3 + 4 + 5 + 6)~V-3,5.

k=i

Przykłady 6.6.3 i 6.6.4 wskazują, że E(X) jest liczbą, która może nie występów w zbiorze wartości zmiennej losowej.

Przykład 6.6.5. Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry. Obliczyć wartos; przeciętną sumy otrzymanej liczby oczek na obu kostkach.

Rozwiązanie. Rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje wartości równe sur: oczek na dwóch kostkach, jest znany z przykładu 6.2.1. Wykorzystamy go do obliczeń wartości przeciętnej:

£(X) = 2-^+3-£ + 4 •£ + 5-£ + 6-£ + 7*£ + 8-£ + 9-£-M0-£+1I>5^B *    .    +12-£-7.

Wynik ten można otrzymać prościej, stosując własność (6.6.1) wartości przeoęhK¹ i przyjmując g\(X)= X,, g₂(X)=X₂, gdzie zmienne losowe X, i X₂ mają taki sam jak zmienna losowa X omówiona w przykładzie 6.6.4. Wynik jest natychmiastowymi

Przykład 6.6.6. Zorganizowano dwa turnieje: I i II. Gracz może wybrać tylko j*d*ⁿ z nich. Orientuje się, że w turnieju I ma szansę wygrania pierwszej nagrody w wy$ok -1200 zł, drugiej — 800 zł, trzeciej - 200 zł z prawdopodobieństwami równynttj|^H wiednio 0,2, 0,6, 0,1; natomiast w .turnieju II nagrody o tej samej wysokości wygrać z następującymi prawdopodobieństwami: 0,3, 0,2, 0,4. W którym turniej# ^ korzystniej uczestniczyć graczowi?

Rozwiązanie. Możemy powiedzieć, że mamy do czynienia z dwiema ®^n,e .j. losowymi X\ Y. zmienna losowa X przyjmuje wartości J 200. 800, 200, Ozprawdopo®⁰ stwami równymi odpowiednio 0,2, 0,6, 0,1, 0,1, druga zmienna Y przyjmuje te tości z prawdopodobieństwami 0,3, 0,2, 0,4. 0,1. Korzystniej jest uc/estnic^ra^^H

• ;,MŁt większaC¹)- Obliczamy więc odpo-i _uór>m wartość oczekiwana wygranej jest węKszat ,

fcjUf "

Pjoio    _E(x) = I200-0,2 + S00-0.6 + 200 0.1+0 0.1=740,

r,    = 1200 0,3+*00-0,2 + 200 0.4 +0 0.1 =600.

L,......-»rr,si»*35:

Efr %££ Tm...» W* - —>*»• *'    “ '“•⁰

-ifc, niż » >^urn,ej^u '^,( bstrakcyjną wielkością, obrazującą średn.ą wygraną, Wfe,    W* nieskończeni. wiele razy. Dalsze przykłady jeszcze

K«j J>^odl'^{reślą jej ZnaeZe,}"^eno^PMstepującą loterię: rzucamy trzema kostkami i w przy-

I    : sssst

Ł_1fl:    nn prawdopodobieństwami

r₍x=ioo)=(;)³ = nr- i>⁽X=i0)=3(_s>

P(X=s)=l-JTi = lTi-    . .

Ora jest sprawiedliwa, gdy

.    . „ 15    ,.200 __A

3 rozwiązaniu s=

■V) W praktyce zagadnienie 10 mc zawsze jest tak    miększe szanse uz> skania

- której wartość przeciętna wygranej jes.    _st,wce. W pM

Półwiek wygranej. Weźmy np. pod uwagę dwie gr ^J . _złolvch. w drugiej na milion gra-«nili°_n grających przypada jedna wygrana w wyso' °    wielkość wartości prze*

C    *» wygranych w    «« ze względu na większa

Wl należałoby polecić pierwszą gre. Jednakie wielu gra .    .

f wygranych”    _może zawodzić. Patrz W. Feller, Wst(P •>«

<■) Są gry nieskończone, gdzie ro rozumowanie w. rrawWbieństw nno zastosowanie, Warszawa 1966.