233 (41)

C. Sterowalność i obserwowalność układów

liniowych

Znając równania stanu i równania wyjść układu można wyznaczyć'w sposób jednoznaczny jego macierz transmitancji, natomiast na podstawie znajomości macierzy transmitancji nic da się wyznaczyć w sposób jednoznaczny równań stanu i wyjść. Równania te, odpowiadając tej samej macierzy transmitancji, mogą różnić się elementami macierzy A, B \ C oraz stopniem n. Ta niejednoznaczność opisów układu jest spowodowana bardziej ogólnym charakterem równań stanu i wyjść. Istotne, jest jednak wyjaśnienie następujących zagadnień:

1.    Jakich właściwości układu dotyczy informacja gubiona przy przechodzeniu od równań stanu i wyjść do macierzy transmitancji?

2.    Czy istnieją układy, dla których obydwie postacie opisu są pod każdym względem równorzędne?

Odpowiedzi na te pytania można uzyskać na gruncie wprowadzonych przez R. E. Kalmana pojęć sterowalności i obserwowalności układów wielowymiarowych.

C.l. Sterowalność liniowych układów stacjonarnych

Układ opisany równaniami stanu i wyjść (objaśnionymi w punkcie 2.3) o postaci

U(t) = AU(t)+BX(t),    (C.l)

Y(t)= CU(t) + DX(l)    (C.2)

jest sterowalny, jeżeli dla każdego /„ istnieje takie sterowanie X(t), które spowoduje w skończonym przedziale czasu (?*—i₀) przejście układu z dowolnego stanu początkowego U(t₀) = U„ do stanu końcowego U(t_k) = U_k = 0. Rozwiązanie układu równań różniczkowych (0.1) ma postać

i

(0.3)

U(t) = e^AtU₀+ J e^A(l~^T)BX(r)ć.T ,

a dla i = h- otrzymamy

tk

(0.4)

(C.5)

Uk — 6^‘t/o+e^ f &~^AlBX(T)dr . ó

Ponieważ Uk = 0, zatem

tk

U₀= — f e~^ArBX(t)4t. ó

Analizując równanie (C.4) można wykazać [II, 5], że układ jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy podany niżej rząd macierzy jest równy wymiarowi n wektora stanu

rząd [B, AB, A-B,..., A^B] = n .    (C.6)

Korzystając z wzoru Sylwestra, funkcję f(A) macierzy kwadratowej A, mającej jednokrotne wartości własne L,..., ?._n, możemy przedstawić za pomocą skończonego szeregu. Dla funkcji e~^Ax wzór ten ma postać

e-"' = ^ «*(*M*,    (0.7)

Ar-O

przy czym <u-(t) jest funkcją e~^J*" dla 1: = 1,2,...,n.

Podstawiając wzór (C.7) do (C.5) otrzymamy

n—\

U_a = A^kBVk , *-0

(0.8)

gdzie

tk

(C.9)

Vk = — J cu-(t)A'(t)dr, k= 0,1, ó

Równanie (C.8) można też napisać w postaci

U₀ — [B,AB,A~B, ..., Aⁿ~'B]

V_} Vn-l

= HV.

(C.10)

Jeżeli rząd macierzy (C.C) jest równy v, to macierz ta ma n liniowo niezależnych kolumn, a macierz //utworzona z tych kolumn jest macierzą nieosobliwą. Mnożąc równanie (C.10) przez II~^l otrzymamy

V = H~'U₀.    (C.ll)

Zależność (C.ll) pozwala wyznaczyć wektor V dla danego wektora stanu początkowego t/„, a poszukiwane sterowania x..(l),..., Xk(t) wyznacza się z zależności (C.9). Dla uproszczenia rozważań założymy, że poszukujemy