242 (60)

METODY NUMCKYCZNF,... .'>,'242

odcinki długości h, i zerujących się przy .v = 0 i .r = Taka przestrzeń skonstruowaliśmy w p. 10.3.3. Za    przyjmujemy iloczyn tensorowy przestrzeni

K<^ł)(0, i » 1,2, tj.

Jest to przestrzeń funkcji prostokątami dwuliniowycit i pokrywa się z przestrzenią określoną pierwszym sposobem. W tym przypadku łatwo wypisać funkcje bazowe. Są one postaci

w/.*i> *₂) = r-Mz).    * = 1. •••>    , j = U •••> ^m2

gdzie ^_i(.v₁) = 9 (-jp- -/) ,<pj(x₂) = <p (y -/),<? <s) zaś jest funkcją pomocniczą

określoną w p. 10.3.3, (m_s+l)h_s = /„ .v = 1,2. Jeśli O jest sumą prostokątów to przestrzeń    konstruujemy następująco. Na Q określamy siatkę prosto

kątną. Z każdym punktem wewnętrznym siatki (/A, ,jh₂) wiążemy funkcję q>_tJ określoną w podany wyżej sposób. Następnie na tych funkcjach rozpinamy Dodajmy, żc siatka na Q może być nierównomierna względem każdej zmiennej x_ft i = 1,2.

Podejście tensorowe pozwala dość prosto konstruować przestrzenie dla k > I gdy znane są przestrzenie elementu skończonego funkcji jednej zmiennej. Tymi ostatnimi zajmowaliśmy się w p. 10.3.3. Na przykład przestrzeń k*³-³-' funkcji prostokątami dwu-,sześciennych (trzeciego stopnia względem każdej zmiennej) jest równa iloczynowi tensorowemu przestrzeni funkcji odcinkami sześciennych. Mogą to być przestrzenie Lagrangc^;owskie lub Hcrmite’o\vskie.

Zwróćmy uwagę na to, że przestrzeń Hermite‘owską k’;.^3,3) może być również przydatna dla równań eliptycznych czwartego rzędu. np. dla równania &²u = f z odpowiednimi warunkami brzegowymi.

Podamy twierdzenie (bez dowodu) o oszacowaniu błędu interpolacyjnego w przestrzeniach

Twierdzenie 10.26 Niech

(1)    stosunek krótszego do dłuższego boku prostokąta e„ i — I,...,m_h przy h dążącym do 0 będzie ograniczony z dołu przez stałą dodatnią niezależną od h,

(2)    P_t *(?,). gdzie i — 1, .... m_a, będzie zbiorem wielomianów zawierającym pełne wielomiany A-tego stopnia względem każdej zmiennej x- dla i = 1,2,

(3)    parametry węzłowe zawierają pochodne rzędu nie wyższego niż k.

Wtedy dla funkcji u e H"⁺ '(i 2) .0 H² (Cl) prawdziwe jest oszacowanie

il^-u.dL<*W^,'⁴li« l_k+i . ^s = 0,1

gdzie Uf, jest funkcją należącą do interpolującą u, M zaś jest stałą dodatnią niezależną od h.    B

Użyjemy tego twierdzenia do oszacowania błędu MES określonej w przestrzeni Vi ^11!W tym przypadku k - li zbiór P_tl(e,) zawiera wielomiany pienv-

__