246 2

246

6. Równania nieliniowe

6.9.3. Ime motory

Inne podejście do rozwiązywania układu /fx)=0, niekiedy celowa, polega na użyciu i-tego równania do wyznaczenia xj*^+,). Inaczej mówiąc, dla Ł— K 2, .... n rozwiązuje się równanie jednowymiarowe

U*'

<* + !}.

(t+ll

. x;. _Ł

Można to nazwać metodą nieliniową Gaussa-Seidela. Podobnie można określić metody rńe-liniowe Jacobiego i nadrelaksacji.

Ostatnio zaproponowano pewną klasę metod zwanych procedurami aktualizacji macierzy. Poniższą metodę opracował Broyden. W każdej iteracji tworzy się nowe przybliżenie /, macierzy Jacobiego dodając do poprzedniego przybliżenia 7,_, macierz rzędu pierwszego tak, aby spełnić związki

J_l(x_t-x_i_₁) =f(x_t) -/(x_t_ _Ł) _f

(6.9.7)

gdzie (x,-x_i._l)^rp=*0.

Wprowadźmy oznaczenia fł_t— J~\ q =jc_f—z,-__lt y=f(x,)—f(x_i^₁). Jako ćwiczenie (zob. zadanie 3 na końcu tego paragrafu) pozostawiamy sprawdzenie, że powyższe żądania prowadzą do następujących wzorów:

(6.9.8)

_{r r} (A-i i-y)f 9 9

1-

Drugi z nich powstaje przez zastosowanie wzoru Shermana orrisona (zob. zadanie 6z§5.3). Przy bl iźenie o:,-., otrzymuje się z wzoru

(6.9.9)

^xi+ ;    ■*»'    /(^i) *

Parametr A, jest zazwyczaj równy 1. jeśli jednak wtedy ||/(x_f+ i)||z^||£fó)||2>^to '•* P⁰’ łowi się wielokrotnie, aż do spełnienia nierówności ||/(x_j+i)||₂ <||/(-r<);|2*

Wzory (6.9.8) wydają się skomplikowane, ale w istocie do obliczenia B_t wystarczy około 3rt¹ mnożeń. Podobne pomysły stosuje się w optymalizacji nieliniowej; zob. § IG.5-Podkreślamy ścisły' związek między układem nieliniowym /(x) = 0 i zadaniem minimalizacji normy ||/(x)||. Nie zalecamy jednak bezpośrednich zastosowań metod minimałizaęi¹ z § 10.5 do rozwiązywania układów' nieliniowych.

Gdy trudno znaleźć przybliżenie początkowe, można posłużyć się cennymi pomyśle*⁰ zanurzania zadania w rodzinie zadań

(6.9.10)

/(*. )«o_}