0145

147

§ I. Długość krzywej

330. Inne podejście do definicji długości krzywej i jej obliczania. Przy definicji pojęcia długości krzywej (1) regularnej, ciągłej wychodziliśmy z równości (2). Udowodnimy teraz, że w przypadku krzywej niezamkniętej jej długość S jest nie tylko kresem górnym zbioru {p} długości łamanych wpisanych w krzywą, ale po prostu jest granicą liczb p, pod warunkiem, że długości wszystkich odcinków łamanej (p) dążą do 0 (łub dokładniej, jeśli dąży do 0 długość /.* najdłuższego z tych odcinków):

_v6)    S = lim p .

*•-0

Wygodnie jest zresztą posługiwać się wartościami parametru /

(7)    f₀ < h < ••• < U <    < ••• <    = T,

określającymi położenie wierzchołków łamanej (p) danych na krzywej. Zakładamy, że wszystkie różnice At, —    ^ dążą do 0 (lub dokładniej, że dąży do 0 największa z nich

k = max At,). Dwa lematy z ustępu 24S gwarantują równoważność obu charakteryzacji przejścia do granicy. Należy więc udowodnić, że

(6*)    S = lim p,

;.-o

Zwracamy najpierw uwagę na następującą ważną własność długości p łamanej. Jeśli odpowiada ona pewnemu podziałowi (7) odcinka </₀, T) i jeśli dodamy jeszcze jeden punkt podziału /*:

t_k<t* < f*_+ł,

to długość p może się tylko powiększyć, przy czym przyrost ten nie przewyższa podwojonej sumy oscylacji funkcji q>(t) i y>(t) w przedziale <f_k, t_k+1). Rzeczywiśćie, dodanie nowego punktu podziału t* powoduje w sumie p zamianę jednego składnika (długość odpowiedniego odcinka łamanej):

(8)

na dwa składniki (długości odpowiednich odcinków)

(9)    l/Wt*)-9<h)]² + Wt*)-V>(h)]² +l/[(9Kt_k+,)-ę<t*)]² + [v<»i_t+.)-V(»*)]² •

Suma (9) jest w każdym razie nie mniejsza niż składnik (8). Z drugiej strony suma (9) jest nie większa od sumy

W* *) -    *) -    + Iłdk+i) - fO *)l++i ) - fU *)l.

a zatem przyrost sumy p jest tym bardziej nie większy od tej liczby, która jest oczywiście mniejsza od wspomnianej podwojonej sumy oscylacji.

W dalszych rozważaniach ograniczymy się do przypadku, kiedy 5 jest skończone. Z definicji kresu górnego wynika, że dla dowolnie małej liczby e > 0 można znaleźć taki podział na części przedziału </₀, 7"> punktami

no)    t„ = ts<ti</i<... <c = t,

10*