122638

Układ równań liniowych może być:

1)    sprzeczny, gdy zbiór rozwiązań układu jest zbiorem pustym, tzn. układ nie ma żadnego rozwiązania,

2)    oznaczony, gdy zbiór rozwiązań układu zawiera dokładnie jeden element, tzn. układ ma dokładnie jedno rozwiązanie,

3)    nieoznaczony, gdy zbiór rozwiązań układu zawiera nieskończenie wiele elementów, tzn. układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Układ ⁿ równań o ⁿ niewiadomych

Rozważmy układ równań

a_llx_l + a_t2x₂+... + a_Ut-x_K=b_l a₂i' x_l+a_z,x₂+... + a_2u- x_n = b₂ o_nlx_l+a_o2x₂+... + a_nnx_n^b_n

Oznaczmy

Ol.	a 12 •	• o.„				br
021	°22 •	• o2n	» x —	^2	, b =	b2
0»I	^0„2 *	• 0™.		.^Xn.		Pm.

Wtedy układ można zapisać w postaci

Ax = b.

Układ równań nazywamy układem Cramera, jeżeli det A =* 0.

Jeżeli det A *0, to macierz A jest nieosobłiwa oraz istnieje macierz do niej odwrotna A~^l . Zatem

A~^l Ax = A^l b.

Ponieważ, na mocy definicji A ¹ • A — I oraz / • x = x, możemy stwierdzić, że rozwiązaniem układu Cramera jest wektor postaci

x = A^-1 b .

Rozwiązywanie układu Cramera z wykorzystaniem powyższego wzoru nazywamy metodą macierzy odwrotnej.

Przykład

Rozwiązać dany układ metodą macierzy odwrotnej

x, - x₂ + x₃ = 2 2 • x, + x₂ - x₃ = 1 - x, + 2 • x₃ = 3

Macierz podstawowa tego układu jest postaci