282 2

282

7. Różnice kończone w całkowaniu i różniczkowaniu

9. Do obliczania /(x₀ + ph) za pomocą interpolacji kwadratowej może służyć wigu wzorów. ^Przykłady:

A. Wzór Newtona, węzły równoodległe, różnice progresywne:

/(x₀+ph) *f₀ + pJfo + \p (p -1) A²/₀.

li. Wzór Besscla:

/ (x o+ph) »/₀+PVi n + iP (P~ 1) («$ */o+ó^lf\) -

C.    Ogólny wzór Newtona dla stablicowanych wartości /_i, Jo» /i:

/(x₀ + pA)«/₀ + (A-X₀)/[.X₀, X|]+(x-*o)(*“*l)/[*0. a, , X-J.

D.    Wzór Taylora z pochodnymi zmienionymi na różnice centralne (zcb. przykład 7.1.8):

/ (x o + ph) ss/o+\ (/,    ,) p+i (/, - 2/₀ +/_,) p².

Zbadać numerycznie wszystkie te wzory dla /(x)=exp (a), x_ó=0, h=0.2, p=0.5. Jakie stablicowanc wartości są potrzebne? Które z tych wzorów są matematycznie równoważne?

7.4. Całkowanie numeryczne

Zadanie. Przybliżyć całkę

f f(x)dx

a

używając wartości funkcji/w punktach równoodległych. (W dalszej części §7.4 wspomnimy o innych wariantach tego zadania.)

Przyjmujemy x₀=a, x_i=x₀+ih_y x_B = b; stąd n = (b—a)jh.

7.4.1. Wzór prostokątów, wzór trapezów ł metoda Romberga

Oczywistym sposobem rozwiązania powyższego zadania jest aproksymacja funkcji./ (•*) za pomocą prostej, łatwo całkowalnej funkcji. Zbadamy teraz dwie metody oparte na przy* bliż^niu funkcji f(x) funkcjami, które są przedziałami liniowe.

Wzór prostokątów (rys. 7.4.1):

(7.4.1)    J/(x)dx»R(A)«A £ fi-i',2 •

a    <“I

(Porównajmy to przybliżenie z definicją całki oznaczonej.) Zauważmy, że w (7.4.1) wartości funkcji / w środkach przedziałów (Xj_ j, *,). Jest to istotne dla uzyskania d dokładności, co widać z rys. 7.4.1.

Wzór trapezów {rys. 7.4.2). Wzór ten wspomniano już w § 1.2:

(7.4.2)

j / (x) dx *t T(h)=h ttf₀ +/! + ...+/„_,+ ifj.

a