304 (11)

Odcinki A, A.. B_x B_2% C, C₂, D, D, mają długość 10 i są krawędziami bocznymi sześcianu. W jakiej odległości od wierzchołka należy zaznaczyć punkt M należący do przekątnej A, C_p aby suma jego odległości od wierz- 1 chołków B. i D, była możliwie najmniejsza?

Komentarz

Rozwiązanie

Wykonamy rysunek wraz z oznaczeniami.

Wiemy, że długość krawędzi sześcianu wynosi 10. Szukamy takiego .v, aby suma 5 była najmniejsza.

Oznaczenia: x — odległość punktu M od wierzchołka A,

S — suma odległości punktu M od wierzchołków B₂\D₂ S = | MB₂1 + | MD₂1

Dodatkowo narysujemy podstawę dolną sześcianu.

N — rzut prostokątny punktu M na przeciwległą ścianę sześcianu

A* p

Obliczymy odległości punktu M od wierzchołków S, i £>,.

aA, PN\ | A₂ N | = | A, M | = x |A₂iV|¹= |A₂/>|¹+ |iVP|¹== 2\NP\²

X²= 2 | NP|¹ «=» | NP j¹ = \ ~ l^AW>l ⁼ ±~i

fi

Zapiszemy sumę S jako funkcję długości odcinka | A, MI = xi dziedziną jest zakres zmienności x (długość x jest mniejsza od długości przekątnej

|a,c,|= 10 fi).

tJ*B₂N\ \PB₂\ = \A₂B₂\- \A₂P\ = lO-

|nb₂|² = |iVP|¹+ \pb₂\² = \ ⁺ [¹⁰ “ l||j|)

\nb₂^=    + ioo - \oxfi +

\NB₂\ = 100:4- IOjc/2 +JC¹

&NB₂ m    ,

IMB₂1¹ = | MN |¹ -ł- | NB₂1¹ = 10¹+ IOO - 10x/2 +x | MB₂1 = /200 - 10x /2 + x'

Zbadamy przebieg zmienności funkcji S(jc).    5'(x) — (2 J200 — 1Ox fi + x J

fi

S'0) = 2

Formułujemy odpowiedź.

(200— 10x fi + X¹)'

_w 200 — 10.v fi + x S'(x) = O •* —10 fi + 2x = o

-,._v

O 5/S 10/5

____—-- T    * *

Odp. Punkt M należy zaznaczyć od wierzchołka A..

* _/2 .V = -* V —

S(x):: N. <

1

/200 — I0x /2 -ł-