316 2

316

7. Różnice skończone w całkowaniu i różniczkowaniu

Dowód . Zc względu na symetrię całka (\ 0, dxdy)cst taka sama dla/= 1, 2 3* iwi -n-^ całki SjBfij dxdy są takie same dla trzech kombinacji (/,/). Stąd dla funkcji kw-adratp

(7.7.18) Jf u(x, y)dxdy”*a{u_l + u₂ + u_i)-2b(J^,2_}.+d^,śi + dj₂)=

T

=(fl-4h)(i/,+u₂ + u₃)+4/)[łi(i(P₂ + Pj))+u(i(i^>J+i»_ł))4.u(j(/>_{l +} p ^

gdzie

^a~ II dxdy, h= U $_l$₂ dxdy.

Wprowadzimy teraz 0_X i 0₂ jako nowe zmienne całkowania. Z (7.7.14) i związku 8₃=] -—0₁ — 0₂ wynika. że

x = 0, (x, - x₃)+0₂(-x₂ “    +*3 .

(7.7.19)

y = 0i(ł’i - yi) + ^a0'2- >3) + >2 •

Wobec tego przejściu do nowych zmiennych odpowiada wyznacznik

X₁-X₃ X₂-Xy

>i-v3 yj-y*

■■2 A.

Stąd (sprawdźmy granice całkowania!)

1 i-*j    t

a=jd0, f 0_r2Ad0₂ = 2A J 0,(1 —0,)^ = ^,

00    o

1 i-h    1

h«Jd0i j 0,0₂'2/1 d0₂=2A 10, • Jl 1 — 0,)^Jd0j =-^>4.

00    o

Otrzymujemy teraz twierdzenie, podstawiając tc wyrażenia do (7.7.18).

Rys. 7.7.8

Metoda numeryczna. Pokrywamy obszar całkowania trójkątami, stosujemy do ^    ^

z nich wzór (7.7.17) i wynik sumujemy. Dla każdego krzywoliniowego fragmentu ^e obszaru całkowania (rys. 7.7.8) należy dodać poprawkę

(7.7.20)    3^(5) (pole trójkąta PRQ).

Można wykazać, żc jeśli R jest w' przybliżeniu punkiem środkowym luku PQ»^tC! wyższej poprawki wynosi Oi\\Q- Pjj⁵). Jeśli brzeg obszaru jest dany w postać*