336 (33)

10. Dynamika punktu

- RYS. 10.66

ROZWIĄZANIE

Z warunku rzutów na kierunek n mamy S = P cos <p — B„

U)

gdzie B_n ■== m—-. Wartość prędkości v możemy wyznaczyć z zasady zachowania energii mechanicznej

mgl = -mu² -+■ mg/ cosę>

(2)

stąd

mu² = 2mgl(\ — cos <p)

Po podstawieniu do równania (1) otrzymujemy S = mg cos(p — 2mg(\ — cosę>) = mg (3 cos tp — 2)

Sita w pręcie będzie równa zeru, gdy 3 cos ^> — 2=0, czyli 2

<p — arccos-. Jest to oczywiście najmniejsza siła w pręcie.

Jeżeli <p = TT, to S = —5mg. Znak oznacza, że pręt w dolnym położeniu jest rozciągany, a nie ściskany. Największa siła w pręcie jest więc równa 5 mg.

PRZYKŁAD 10.108 Tor, po którym porusza się punkt materialny o masie m tworzy otwartą pętlę o promieniu r, jak to pokazano na rys. 10.67. przy czym <BOC = *BOD = a. Z jakiej wysokości ii powinien zsuwać się punkt, aby mógł przebyć całą pętlę? Obliczyć także tę wartość kąta, dla której h jest najmniejsze. Tarcie i opór powietrza zaniedbać.

ROZWIĄZANIE

RYS. 10.67

W chwili, gdy punkt materialny opuszcza okrąg w punkcie D, jego dalszy ruch odbywa się tak jak przy rzucie ukośnym, bez uwzględnienia oporu powietrza, czyli

y

X — Vjyt cos a

1 ₂

= vot sin a — -gt

(1)

(2)

Musimy zażądać, aby punkt trafił dokładnie w punkt C stycznie do okręgu. Ze względu na symetrię toru na odcinku od D do C nastąpi to, gdy y = y_mo*₅ dla x = r sina. Z warunku tego obliczymy czas, po którym to nastąpi

r sina = u#/, cos a

czyli