382 (6)

Algorytm (rys. 8.6)

Ponieważ ekwiwalentna macierz wag P = T(V)P jest zależna od wektora standaryzowanych poprawek V. rozwiązanie zadania wyrównawczego (8.10), a więc wyznaczenie takiego d_Y , że g(d _v) = V⁷ PV = min. ma charakter ite-

li _v .-•= - (A ^T PA ) ‘ A ~ P L V A ci _x 4- I.

^ćv(»o-n“^p'^,“^A(Ai'^PA)"‘'^Ar

fila przyjętego y ustalić wartość k

oraz przedział dopuszczalny A v - {~k\ k)

czy dla każdego i: v, <z Av tak ; nic

Ul	1 j = 0 I
	y
J V"’ 1 ci?	■V. P^('>,,P I ... /-

•<

____________▼___________

ustalić granice dodatkowych przedziałów i parametrów stcruj.icycJi; obliczyć wartości funkcji tłumienia;

/(rhh.ąrPh.....-► T{v°h

Rys. 8.6. Algorytm odpornego wyrównania z. zastosowaniem metody NK

racyjny. Krokiem startowym w tym procesie jest wyrównanie klasyczną metodą najmniejszych kwadratów, tzn. z oryginalną macierzą wag P. Każdy z następnych kroków to także wyrównanie metodą NK, jednakże z zastosowaniem ciągle modyfikowanych wag (tłumionych funkcjami o wartościach obliczanych na podstawie standaryzowanych poprawek uzyskanych w poprzednim kroku). Iterację kończy takie wyrównanie, w którym uzyskano wartości standaryzowanych poprawek mieszczą się w przedziale dla nich dopuszczalnym (lub dotykają jego granic z przyjętą precyzją e), a wynikająca stąd nowa macierz tłumienia nie wnosi już „niczego nowego” do macierzy wag (w granicach przyjętej precyzji obliczeń). Ostateczna macierz wag jest macierzą ekwiwalentną, natomiast uzyskane na jej podstawie rozwiązanie rozwiązaniem końcowym. W ekwiwalentnej macierzy wag, wagi odpowiadające obserwacjom obarczonym błędami grubymi nie są już wagami oryginalnymi, lecz wagami o wartościach zmniejszonych lub, niekiedy, równych zeru (np. jeśli po zastosowaniu funkcji tłumienia Ilampela zachodzi jvj > k/_}). Zdajemy sobie teraz sprawę, że gdyby od razu była znana ekwiwalentna macierz wag, odporne wyrównanie metodą NK niczym by się nie różniło od wyrównania klasycznego. Trudno jednak a priori ustalić, które z obserwacji są odstające, a tym bardziej, jakie należy przyporządkować im ekwiwalentne błędy średnie pomiaru, czy też wprost - ekwiwalentne wagi. Wcześniej wskazywaliśmy, że dowolność w tym zakresie może prowadzić do poważnych, negatywnych konsekwencji.

Przykłady

Przykład 8.1

Wcześniej, jako ilustrację teoretycznych założeń, wyznaczaliśmy średnią arytmetyczną z czterech wyników pomiaru:    ~ 1, x"^h - 2, x^' - 3, x'(^b - 14.

Intuicyjnie odrzuciliśmy czwartą obserwację (jako „podejrzaną” o obarczenie błędem grubym), nadając jej wagę o wartości równej zeru. Stosując zasady uodpornionej na błędy grube metody najmniejszych kwadratów oraz funkcję tłumienia Hampeła, ponownie wyrównać te wyniki. Przyjąć dla wszystkich obserwacji jednakowy błąd średni pomiaru m ~ 2 oraz precyzję wprowadzania standaryzowanych poprawek do przedziału dopuszczalnego 0.07.

Rozwiązanie

Zgodnie z proponowanym algorytmem, etapem wstępnym (a być może ostatnim) jest klasyczne wyrównanie metodą najmniejszych kwadratów. Chociaż wiadomo, jakie jest tutaj rozwiązanie (średnia arytmetyczna), to jednak obliczenia przeprowadzimy zgodnie z ogólnymi zasadami wyrównania:

‘fi

O

o

__ _Y

(' koniec')

V v^(;)

p = p^(/> — —

j'=j+¹

V

pO)		•0
<iV>	« -(A^rP^f/>A)'	^1 A^rP^{/,L
vo>	--= AdV' i I.
czy	precyzja <:
dla każdego i : v,		<r Av
	tak	nie

383