38 (215)

9. BADANIE ZŁOŻENIA

MECHANICZNYCH I ELEKTRYCZNYCH DRGAŃ HARMONICZNYCH POPRZEZ OBSERWACJĘ KRZYWYCH LISSAJOUS

Złożenie drgań w kierunkach wzajemnie prostopadłych

W przyrodzie rzadko obserwuje się proste drgania harmoniczne. Najczęściej występuje złożenie (nałożenie się) ruchów drgających, które różnią się od siebie kierunkami zachodzących drgań, częstotliwościami oraz fazami początkowymi. Gdy drgania składowe odbywają się w tym samym kierunku, to mogą występować zjawiska interferencji (lub dudnień) (patrz np. rozdziały 8,    29). W niniejszym ćwiczeniu rozpatrzymy

przypadek złożenia drgań odbywających się w kierunkach wzajemnie prostopadłych.

Załóżmy, że jedno drganie zachodzi w kierunku osi X, a drugie o tej samej częstotliwości odbywa się w kierunku osi Y oraz że wyrażamy je wzorami:

x = A sin ut,    y = B sin (cot+5),    (9.1)

gdzie A, B oznaczają amplitudy tych drgań, u=2nv=2n/T -częstotliwość kołową, 6 - różnicę faz między drganiami, v -częstotliwość drgań, T - ich okres.

Obliczając wielkość sin ut oraz cosut ze wzorów (9.1) i podstawiając je do tożsamości matematycznej

cos²wt + sin²wt =1    /q 9x

otrzymamy:

Wyróżnik tego równania ———--= --;^{n 5} jest nie mniejszy

A^z B^z A^z B^z A² B²

od zera. Gdy jest równy zeru, czyli gdy przesunięcie fazowe 6=0 lub 5=11, wówczas równanie (9.4) przyjmuje postać równania prostej y=(B/A)x lub y=-(B/A)x. Gdy wyróżnik równania (9.4) jest dodatni, to równanie to jest równaniem elipsy. W szczególnym przypadku, gdy A=B oraz S=n/2 lub 5= 3n/2, równanie (9.4) staje się równaniem okręgu.

x² -*• y² = A².    (9.5)

Różnica pomiędzy warunkami 6=ti/2 oraz 5=3tt/2 polega na tyra, iż w pierwszym przypadku wraz z upływem czasu okrąg jest obiegany zgodnie z ruchem wskazówek zegara (mówimy o obiegu prawostronnym) . Natomiast w drugim przypadku okrąg jest obiegany lewostronnie (patrz rys. 9.1).

Warto zauważyć, iż kształt elipsy będącej złożeniem dwóch drgań dostarcza informacji na temat różnicy faz 5 pomiędzy tymi drganiami. Różnicę tę otrzyma się ze wzoru:

(9.6)

I

85 -

_?<_ _A A y - 2ABxycos6 ♦ B²x²cos²&

A²    A² B² sin² 6    " ^l'

a po prostych przekształceniach

y    2xycos6

—2    AB

sin* 8.

5 = arcsin |

lub

5

arcsin

«£

XY

(9.7)

(wielkości a, b, a, £, X, Y występujące w tyra wzorze są zaznaczone na rys. 9.2). Wzór (9.6) nadaje się lepiej do pomiaru dużych wartości 5, natomiast (9.7) do pomiaru małych 5 (poniżej 10°) . Amplitudy wychyleń w kierunku obu osi X i Y nie mają wpływu na wynik pomiaru.