fiz (12)

9. BADANIE ZŁOŻENIA

MECHANICZNYCH I ELEKTRYCZNYCH DRGAŃ HARMONICZNYCH POPRZEZ OBSERWACJĘ KRZYWYCH LISSAJOUS

Złożenie drgań w kierunkach wzajemnie prostopadłych

W przyrodzie rzadko obserwuje się proste drgam: harmoniczne. Najczęściej występuje złożenie (nałożenie się ruchów drgających, które różnią się od siebie kierunkan zachodzących drgań, częstotliwościami oraz fazami początkowymi. Gdy drgania składowe odbywają się w tym samym kierunku to mogą występować zjawiska interferencji (lub dudnień) (patr: np. rozdziały 8,    29). W niniejszym ćwiczeniu rozpatrzyć

przypadek złożenia drgań odbywających się w kierunkac wzajemnie prostopadłych.

Załóżmy, że jedno drganie zachodzi w kierunku osi X, drugie o tej samej częstotliwości odbywa się w kierunku osi oraz że wyrażamy je wzorami:

x = A sin <dt₍

y = B sin (ut+S),

(9.:

gdzie A, B oznaczają amplitudy tych drgań, u=27ti>=2n/T częstotliwość kołową, 8 - różnicę faz między drganiami, v częstotliwość drgań, T - ich okres.

Obliczając wielkość sin ut oraz cosut ze wzorów (9.1) podstawiając je do tożsamości matematycznej

cos²ut + sin²ut = 1

otrzymamy:

x² A^zy² - 2ABxycos6 + B²x²cos²6 _ ,

—5" ⁺    222    ~ ⁱ

A²    AB²sin² 6

a po prostych przekształceniach

Ą- + -Ą---^2X£-B-^A- ■ sin²5.    (9.4,

A²    B^2    AB

.    1    cos²5 sin²6

Wyróżnik tego równania ——— -    = ——— jest nie mniejszy

A B A B    A B

od zera. Gdy jest równy zeru, czyli gdy przesunięcie fazowe 6=0 lub 6=n, wówczas równanie (9.4) przyjmuje postać równania prostej y=(B/A)x lub y=-(B/A)x. Gdy wyróżnik równania (9.4) jest dodatni, to równanie to jest równaniem elipsy. W szczególnym przypadku, gdy A=B oraz 8=n/2 lub 6= 377/2, równanie (9.4) staje się równaniem okręgu.

x² + y² = A².    (9.5)

Różnica pomiędzy warunkami 6=77/2 oraz 6=371/2 polega na tym, iż w pierwszym przypadku wraz z upływem czasu okrąg jest obiegany zgodnie z ruchem wskazówek zegara (mówimy o obiegu prawostronnym) . Natomiast w drugim przypadku okrąg jest obiegany lewostronnie (patrz rys. 9.1).

Warto zauważyć, iż kształt elipsy będącej złożeniem dwóch drgań dostarcza informacji na temat różnicy faz 6 pomiędzy

tymi drganiami.	Różnicę	tę otrzyma się	ze wzoru	:
	5 =	arcsin § b			(9-6)
lub	6 =	aB arcsin ^			(9.7)
(wielkości a,	b, a, P,	X, Y występujące w		tym	wzorze są
zaznaczone na	rys. 9.2)	. Wzór (9.6)	nadaje	się	lepiej do

pomiaru dużych wartości 6, natomiast (9.7) do pomiaru małych 6 (poniżej 10°) . Amplitudy wychyleń w kierunku obu osi X i Y nie mają wpływu na wynik pomiaru.