412 (5)

Kontynuując rozwiązywanie problemu (9.9), po wyznaczeniu takiego

dy, że £(dy) = V⁷ PV = min. formułujemy następne zadanie, które jest dodatkowym (w porównaniu z klasycznym zadaniem wyrównawczym) problemem optymalizacyjnym, regulowanymi macierzą P_x. Problem ten ma postać 13 d _x + A — 0

(9.12)

min_x (dy) = dy Y }⁼ d y P_xd y

i nawiązuje do, znanej nam dobrze, metody warunkowej. Istotnie, ponieważ B = [A[PA, € 9?"-^M A⁷ PA₂ e 9i^M,<7] = [Qu Q,₂ ]e T\^,ł-^r A = A⁷ PL e 91“

oraz dla J>0 zachodzi (r = n-w/)>M, więc układ równań warunkowych Bdy+A = ł) {dotyczących estymatora <1 ^) zawiera więcej niewiadomych aniżeli równań.

Zgodnie z przedstawionymi w rozdz. 5.2 zasadami (stosowanymi także w rozdz. 6), wynikający z zadania (9.12) pierwotny problem optymalizacyjny

min K y (d v ) ~ d\ Pxd y }= d y P_xd _Y d_Yc-<J>

o zbiorze rozwiązań dopuszczalnych <I> = {d_Y :Bd_Y +A = 0}, zastąpimy problemem wtórnym

min {ę _Xk (d _x) - ^ _Y (dy ) - 2k⁷ (Bd y + A)} - d _Y P_xd _Y    (9-13)

<i.Y

bez ograniczeń, przy czym Ke9ł"'¹ jest wektorem korelat. Rozwiązaniem problemu (9.13), podobnie jak w metodzie warunkowej, jest estymator

dy=Px^JB^rk    (9.14)

Wektor korelat k musi spełniać układ równań normalnych

BPx'b⁷ k + A = 0

Jeśli zatem

k=-(BPx^lB⁷'r^IA    (9.15)

to

(9.16)

dy = P_x'b⁷ k =-Px^,B⁷'(BPx^lB⁷'r¹A = -Py B⁷’ (BP_x^lB^r )~^l A f PL

Zwróćmy teraz uwagę, że

>xn	P.Y !2	Ql!
Pxi2	PX	Q?2.

BPxV =[Qj,

~ Qn! |Q|| ⁺Ql2^XI^Q) I ^!'Qh^X12Q|2 ⁴‘Q]2^X22Qf2 ~

= (Qn^ir^ł'Ql2^il2)Qll ⁺(Qtl^VI2 +Q_t2^.Y22.)^l^/2 “ ........** ⁰12

(9.17)

(9.18)

= 0|(Q[l +Oj2Qil2

Zatem

d,_v = -P_x B^rS~' A[PL = -A • _PxI.

gdzie, rzeczywiście (porównaj z (9.8)),

PP*

©ii

e{₂

a[ P = PX^!B^7 S '	ivrp_ Pxi. ^Ai ^1 - ^ł X 12	^{>XI2 PX Tn	|-1 p p [O ’ «—'
,2Q?2)-^lA^7P

■i j

^Ai

Estymator wektora poprawek uzyskujemy tak jak w rozwiązaniach klasycznych, na podstawie modelu funkcjonalnego V = At!_x+L. Zatem także i tutaj

V=Ad_x+L lub

gdzie tym razem

V = Ad _v + L - - AA J_p L -i- L = ML

M - I „ -AA

pp_x

(9.19)

(9.20)

(wcześniej używaliśmy macierzy M = I„ - A(A⁷ PA) ¹A¹ P = I„ - AAjj _P)).

W niektórych przypadkach można przyjąć, że macierz kowariancji losowego wektora X° =((X^<1⁾)⁷    (X⁰)⁷ ]^v jest ąuasidiagonalna (wektory

Xf,X§ są wzajemnie niezależne), czyli

rcxo o i ^Al		>Xll	0	-1 'y	[•V ° 1
o Co ^a2	= <TqX	0	^PX22_	- ^aC)X	[o’ rxJ

(9.21)