417 2

10.2. Metoda symplcks

417

jjjgjZYJCLAD 10.2.2. Znaleźć

przy warunkach

maksimum wyrażenia f=x_l-x₂

x$= —2 + 2x_f — x₂.

x₄= 2— x_i+lx₂, x₅= 5— Xj — x₂.

(1 = 1,2,    5).

i *2 oic mogą być zmiennymi prawostronnymi, gdyż x₃ jest ujemne dla .r₁=x₂=0. jveje$t oczywiste, które dwie zmienne mogą być zmiennymi prawostronnymi. W takim przypadku można zmodyfikować zadanie, wprowadzając nową zmienną sztuczną x₆ określoną równaniem

x₃ = — 2+2x, — x₂ + x$

i warunkiem x₆^0. Jeśli uznamy teraz x-, x₂, x₃ za zmienne prawostronne i nadamy im wartość 0, to wszystkie zmienne x₄, x₅, x₆ będą nieujemne. Znaleźliśmy więc wektor dopuszczalny dla rozszerzonego (szcściowymiarowcgo) zadania. Aby to zadanie było na końcu należycie powiązane z pierwotnym zadaniem, musimy być pewni, że w końcowym rozwiązaniu zmienna sztuczna (tu x_t) jest zerem. Osiągamy to, modyfikując maksymalizowaną funkcję przez dodanie do niej składnika równego iloczynowi —M przez zmienną sztuczną, gdzie M jest dużą liczbą dodatnią, znacznie większą niż inne liczby występujące w obliczeniach. Wtedy dodatnia wartość zmiennej sztucznej obniżałaby bardzo wartość maksymalizowanej funkcji; dzięki temu uzyskuje się w końcowym rozwiązaniu zerową wartość tej zmiennej. W przykładzie zmodyfikowane zadanie jest następujące:

Znaleźć maksimum wyrażenia

J = x_l~x₂ - Mx₆={ i +2M)x, -(I -r M) x₂—Aix ₃—2 M Prcy warunkach

x₆=2—2x₁+x₂+x₃,    zfX| = l, d/=l+2M.

X4.=2—x₁-}-2x₂ , x₃=5-x_i-x₂.

y    (i = l_f2, ..,6).

x, i x₆:

x₁=i(2-fx₂ + x₃-x₆),

^x4=ł(2 + 3x₂-x₃+x₆),    dx₃=2,    d/=1,

x_s=i(8-3x₂-x₃+x_ó),

7 = i (2 - X₂ + X J + X₆) - A/** .

•Wa«;r>’cnt