44 45 (17)

44 ...... .Układy, równań liniowych

44 ...... .Układy, równań liniowych

	‘3 1 2-17'		12 4
a)	0 10 2 1 3 2 2 1 8	; b)	1    4 5 -1 2 -2 2    2 7
	0 115 4 -3 -1-1 4 2		0 2 4
			-1-4 4

a)

Rozwiązanie

Macierz nazywamy schodkową gdy pierwsze niezerowe elementy (tzw. schodki) w kolejnych niezerowych wierszach znajdują się w kolumnach o rosnących numerach. Rząd macierzy schodkowej jest równy liczbie jej schodków Dokonując podanych niżej operacji elementarnych na wierszach macierzy otrzymamy:

‘3 1 2-17' 0 10 2 1		'312-17 0 10 2 1	~ r«	'312-17' 0 10 2 1
3 2 2 1 8	u-3 - taj —- rz	0 10 2 1		000 00
0 115 4 -3-1-1 42	u>$ + «*>i	0 11 5 4 0 0 1 3 9	w4 - V2	0 0 1 3 3 0 0 1 3 9

= 4

u-5 - u»₄

b)

1	2	4				1		2	4
1	4	5		- W]		0		l	1	ti/3	—
-1	2	-2	*3	+ ^U1	rz	0			2		4 w 2
2	2	7		-2u-l		0		2 -	1		- ^2
0	2	4		4 U.J		0			4	w5	4 **2
-1	-4	4				0			8
						' 1	2	4 '
						0	2	1
			^w6	— 3u'5		0	0	0
					rz	0	0	0	= ó.
						0	0	3
						0	0	0

rz

1 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0

• Przykład 5.4

Stosując algorytm Chió obliczyć rzędy podanych macierzy:

a)

2	1	4
1	2	2
5	4	10
4	5	8
1	-1	2

b)

3 2

1 -1

6 1

1    3 4

1 -1 3

1 0 3 7

4

7

2

13

Rozwiązanie

Niech A = [a,, będzie macierzą wymiaru m x n, gdzie m.n ^ 2 oraz niech a_n ^ 0. Postępując zgodnie r. algorytmem Chió oblizania rzędu macierzy

gdzie «', =

a)

®^{lł ai}J dla 2 ^ < m, 2 ^ j ^ n, otrzymamy

^ail ®i;

2	1 4 '		r ^1	0 1
1	2 2		3	0		' 0 '
5	4 10	= 1 + rz	6	0	= 2+ rz	0
4	5 8		-3	0		o
1	-1 2 J

[" an	an	ałn		a 22	a'
a2i	a22 •	<*2fi	= 1 + rz
	flm? •	^amn .		«ml •	i ^amn

b)

3	1	3 4	4 '		1	—q	1	13 '
-	1	_ A	7							-36 0	54
		— J ó		= 1 + rz	Ą	n	-4	0	= 2 -r rz
1 . 6	-1 1	1 0 3 7	2 13 .		-3	-9	-3	15		—36 10	54

= 3 + rz [0 0 j = 3

• Przykład 5.5

Wyznaczyć rzędy podanych macierzy w zależności od parametru rzeczywistego p:

'1 P f		P 1 1		‘l-P 2 1 p'
.3 0 2	; b)	2 2 p- 1	; c)	1 2 — p 1 0
p -p 1		p+2 3 p		1 2 I — p p

Rozwiązanie

a) Minorem najwyższego stopnia dla danej macierzy jest jej wyznacznik równy

I ^{2 3} P ² I

3    0 2 = 2p(p - 2).

P -P 1

Rząd tej macierzy jest więc równy 3 wtedy, gdy 2p(p - 2) ^ 0, tzn dla p # 0 i p ^ 2. Dla p = 0 mamy

= o

- rz

	1 1
	3 2
	0 1

					' 1	P	1 '
				rz	3	0	2	=
					. P	-v	1 .
Podobn		le	dla	V =	2 mamy
	' I	P	1			' 1	2	1 '
rz	3	0	2	=	rz	3	0	2
	P	-v	1 .			. 2 -	-2	1 .

rz

u>₇ - Sti/J

«#3 - 2«i/|

1

0 0 1

2

0 1

3

3 0 2