473 2

'W

Rozdział *1

473

, (b) Każdą funkcję sklejaną sześcienną s(x) określają jednoznacznie w [a. b) wartości i .r'(xo)»    (wynika to z twierdzenia 4.6.1). Ponieważ w punkcie c* tylko

AC*) ^{1 B}t+ >(*) ^S5I ^r°żne ⁰⁴¹ więc mamy równania

Jaj_,+fl,+|a_i+l=»s,    (/=0,1,.... m).

W Xi tylko    t B_{i + l}(x) mają niezerową pochodną, więc

-Ui__I-rfl_i+l«f/»s'(^)    (i=0. m).

Z tych równań można wyeliminować i a_m+t: pozostaje układ trójprzekątniówy m-f 1 równań liniowych z/n-1 niewiadomymi. Ten układ ma ściśle dominującą główną prze-¹ kątną, a więc — wobec twierdzenia 5.8.1 - ma macierz nieosobliwą. Dlatego wszystkie a_t są jednoznacznie określone.

(e) Tworzymy funkcje bazowe Bfcx) i #/v) (i= —1,0—, m-ł-J;y = —1,0,...,« + I) jak w (a) i korzystamy z reprezentacji

« +1 ii+1    _

v    s(x,>)= £    £ c^t/*_ty)-_%    if/₍j(x.y)=B^x)Bj[y).

(* -1 .»=-!

W każdym węźle (x„ tylko dziewięć funkcji bazowych v_tJ(x,y) dla r— I    1.

s~ 1 <;<.?+1 różni się od 0. Dla c_4/ otrzymujemy więc układ równań liniowych, z których każde zawiera tylko dziewięć niewiadomych. Można go rozwiązać np. metodami dla macierzy wstęgowych (§ 5.4.2).

Rozdział 5 § 5.2

1. (a) Wielomian charakterystyczny: det (A — /.i)s JJ (2^—2). Przyjmujemy 2=0.

i- I

Jedyną wartością własną jest 0. Ax=0-xox₂=0. Dlatego wszystkie wektory własne mają postać x⁷=(x,, 0), tzn. istnieje tylko jeden wektor własny niezależny liniowo, (c) Tak; np. macierz zerowa, jednostkowa lub dowolna macierz hermitowskaz wiclo-

¹ krotnymi wartościami własnymi.

1

(b) Dowodzimy indukcyjnie, że A^kX=XA^kt skąd P(A)X~ XP(A) dla dowobicgo wielomianu. Stąd

nY=v[wy+aw    o i

^nr-^yl O P(A)-SM)J

E.Wartościami własnymi macierzy B są P(xt)±Q(2,), gdzie 2< (i= 1, 2. .... n) są wartościami

w}ąs^y_mj ^j_a £

3. Z założenia wynika, że kolumny macierzy A są niezależne liniowo; dlatego A nie Jest osobliwa.