432 2

432

10. Optymalizacja

|₂ = 1. Wykazać, że ę/'(0) (najszybszy spadek!).

2.    Przyjmijmy, że y (A) = <p (x₀ - Xd) i załóżmy, że ||d minimalne dla d~gf||$||₂, gdzie g jest gradientem w x₀

3.    Sprawdzić, że Q' (A')=0, jeśli funkcja y/ jest kwadratowa, a X określone z^odn^-7. (10.5.7).

Wskazówka. Zob. zadanie 3 do § 7.5.

4.    (a) Napisać program poszukiwania wzdłuż pTostej opisany w § 10.5.2.

(b) Zaznajomić się z programami wymienionymi w rozdziale 13, a związanymi tema tycznie z § 10.5.

5.    Załóżmy, że funkcja ę jest kwadratowa i że d^JGd>0 dla pewnego wektora d (natomiast nic zakładamy, że macierz G jest dodatnio określona).

(a)    Wykazać, że ę (X)=ę (x₀-?.d) osiąga minimum dla

. 9^Td d'Gd

i że

(dW

miny(2)=v,(0)-;^—•

(b)    Zastosować to dla d—§ i dla d= G~ 'g. Ocenić spowolnioną metodę Newtona w świetle tych wyników.

6.    (a) Wykazać, że dla trzech metod opisanych wzorami (10.5.10) - (10.5.12) jest ff_v7=ó.

(b) Wykazać, że jeśli H₀ jest symetryczna, to i 27_v jest taka.

7.    Wykazać, że rząd macierzy    jest równy 1 dla metody Broydena (10.5.12)

i że jest to jedyna symetryczna metoda aktualizacji rzędu ] spełniająca warunek H,

8.    Załóżmy, że jest prawdziwe rozwinięcie (10.5.20), że rząd macierzy u‘ (c₀) jest równy m i że funkcje ę?' i u są ciągłe w otoczeniu punktu e₀. Wykazać, ż.e

lim 2/r^-1«(x(A:))=2,

Ł—0

gdzie /. jest wektorem mnożników’ Lagrangcn wspomnianym w § 10.5.5.