5 (274)

5” • Siły bezwładności / Dynamika : zmienna masa

1. ) O jaki kąt odchyli się poziom cieczy przewożonej w samochodzie cysternie , gdy samochód hamuje z opóźnieniem a = 5m/s² (g = 10 m/s²) ?

2. ) Cylindryczne naczynie z cieczą obraca się z prędkością kątową co wokół pionowej osi przechodzącej przez jego środek . Wyznaczyć kształt powierzchni wirującej cieczy. Dane jest g .

3. ) Dwaj myśliwi polowali na wilki w Bieszczadach . Jeden strzelał do wilka na zachód a drugi na południe. Obydwaj spudłowali i tłumaczyli się istnieniem siły Coriolisa . Należy sprawdzić zasadność takiego tłumaczenia . Znaleźć odchylenie toru pocisku . Średnia prędkość lotu pocisku vo= 300m/s , czas lotu t=ls , szerokość geograficzna <p=49° .

4. ) Znaleźć odchylenie ku wschodowi x ciała spadającego z wieży o wysokości h w polu grawitacyjnym ziemskim . Wynik przedyskutować w zależności od szerokości geograficznej <f> miejscowości, w której znajduje się wieża .

5. ) Udowodnić twierdzenie Coriolisa , to jest wykazać , że jeżeli wektory wodzące w układach inercjalnym i nieinercjalnym spełniają r=r₀+T' to odpowiednie prędkości i przyspieszenia w tych układach spełniają zależności:

v=v₀+v '+a>Xr ' , a = a₀+a' +2a)Xv'+eXr '+ćbx{u)Xr ') .

Wskazówka:    ^-=~^+wxl> , dla dowolnego wektora b ; czyli pochodne wektorów

dt dt

bazowych (przyspieszonych , zależnych od czasu) dają składnik -ł-có X b .

6. ) W układzie inercjalnym ciało o masie m spoczywa w punkcie r(/)=[x₀, y₀,z₀] a w układzie nieinercjalnym porusza się : p(/)=[x₀cos(air)+y₀sin(ajr), —x₀sin(oi/)+y₀cos(air), z₀] . Należy znaleźć różnicę wektorów prędkości, różnicę wektorów przyspieszeń w obu układach a następnie wyznaczyć te różnice stosując twierdzenie Coriolisa . Sprawdzić zgodność otrzymanych wyników.

7. ) Wagon o masie m porusza się w prawo pod wpływem stałej siły F . Do wagonu sypie się piasek z prędkością u(t) [kg/s] .Znaleźć masę wagonu z piaskiem po upływie czasu t. Znaleźć prędkość v(t) i przyspieszenie a(t) wagonu w zależności od funkcji u(t). Następnie dokonać obliczeń przyjmując , że u=const. Tarcie kół o szyny zaniedbać .

8. ) Wózek z piaskiem porusza się po poziomej płaszczyźnie pod wpływem stałej siły F. Piasek wysypuje się przez otwór w dnie z prędkością p {t) . Początkowa masa wózka z piaskiem m(0) = Mo. Znaleźć masę wózka z piaskiem po upływie czasu t. Znaleźć prędkość v(t) i przyspieszenie a(t) wagonu w zależności od funkcji p (t) . Następnie dokonać obliczeń dla p =const , v(0)=0.

9. ) Rakieta o masie początkowej M₀ poruszając się w przestrzeni kosmicznej wyrzuca spalone paliwo ze stałą prędkością dm</dt = const nadając mu prędkość (względem rakiety) równą u . Napisz równanie różniczkowe wiążące prędkość rakiety z jej zmienna masą i znajdź jego rozwiązanie . Oblicz początkowe przyspieszenie rakiety . Przyjąć , że siły zewnętrzne działające na rakietę są równe zeru .

10. ) W chwili początkowej wagon z piaskiem ma masę m(0) = m_w+ m_p i prędkość v(0) = v₀ .

Z wagonu wysypuje się (bez odrzutu) piasek tak że m(t) = m_w + m_p exp (—at) . Znaleźć prędkość v(t), przyspieszenie a(t) poruszającego się wagonu oraz znaleźć prędkość graniczną (końcową) wagonu bez piasku v_k= lim v(t) , gdy /-H-oo .

Wskazówki do zadań 7.) i 8.):

7    '    '

—[tw(/)v(/)]=F    ,    m(t)=m(0)+J u(t)dt    ,    m(t)=m(0)-j /j(t)dt

^at 0 0