9,10 (2)

Przykład 3. W dowolnych chwilach przedziału czasu o długości T możliwe jest odebranie przez odbiornik dwóch sygnałów. Odbiornik ulegnie zepsuciu, jeśli różnica czasu między tymi sygnałami będzie mniejsza od t₀. Obliczyć prawdopodobieństwo zepsucia się odbiornika.

Rozwiązanie. Niech x i y oznaczają momenty odbioru sygnałów przez odbiornik. Obszarem możliwych wartości x,y jest kwadrat o polu T², tzn. p(£2)=T². Odbiornik popsuje się, jeżeli lx-ykt₀. Zatem zdarzenie A, którego prawdopodobieństwo mamy obliczyć jest wyznaczone przez punkty (x,y) leżące między prostymi x-y=t₀ i x-y=-t₀,czyli jLi(A)=T²-(T-t₀)² a prawdopodobieństwo tego zdarzenia

P(A) =    = 1

lim

( _t V 1--^-l T J

y

►

X

Zmienna losowa

Niech będzie dana przestrzeń probabilistyczna (£2, A ,P). Bywa, że zdarzenia

elementarne składające się na przestrzeń zdarzeń elementarnych £2 nie są liczbami np. stan zdrowia człowieka, stan techniczny urządzenia, barwa rośliny, stopień zniszczenia banknotów, zakłócenia przyjmowanych sygnałów itp.

Dla pewnych określonych celów, tzn. aby móc te zjawiska porównywać ze sobą albo móc jednolicie opisywać doświadczenia losowe korzystając z narzędzi jakimi dysponuje matematyka, przekształcamy przestrzeń £2 w IR¹ (często w IR" o czym później). Tę funkcję przekształcającą, o ile spełnia pewne warunki, nazywamy zmienną losową.

Def. Przez zmienną losową jednowymiarową określoną na przestrzeni (£2, JĄ ,P) będziemy rozumieć funkcję X odwzorującą przestrzeń £2 w IR¹ spełniającą

warunek:

(3)    VagR¹ {a)eQ;X{ćo)<a}e A

Zauważmy, że dziedziną X(co) jest £2, zaś przeciwdziedziną IR¹ . Warunek (3) jest to tzw. warunek mierzalności X względem a-ciała A Żąda on aby przeciwobraz

10