caleczki

- 236

nę całki podwójnej na dwukrotną i uwzględniająo powyższe,

lr i-y

m

mamy:

(2)

¹ ■/ X ^2Mx

0 ^Ly²

Wyliczamy teraz całkę wewnętrzną:

i-y    l~y

dy .

²~y    o    23

ax =    * J _l2 = 2y(2-y-y“)= 4y - 2y - 2y

y‘    y^}

Podstawiając (3) do (2), mamy:

(4) I =/ (4y-2y²-2y³) =[₂y²-| y³-f _y4]' = 2-§-f=f

(3) f 2ydx=2y f dx = 2y [ x 1 / = 2y (2-y-y²) = 4y - 2y² - 2y'^; J_u2 * ^Ł

Zadania do rozwiązania

2    "2f

^a) f(x.y) = x + 2y ; D jest obszarem ograniczonym pro

i. Obliczyć całkę podwójną I =//f(x,y)dxdy„ jeżeli:

stymi:    X = 0, X = 1, y = 0, y = 2

^b)    f(x,y) = —-.....-y ; D jest obszarem ograniczonym prosty-

(x+y)

mi: x = 3, x = 4, y = i, y = 2 ;

c) f(x,y) = xy ;• D jest obszarem ograniczonym prostymi: y = O, x = 0, x + y = 1 ;

ó): f(x,y) = -^-o- ; D jest obszarem ograniczonym prostymi:

y    ₁

x = 2, y = x i hiperbolą y = ~ ;

.e) f(x,y) = e' ; D jest obszarem ograniczonym prostymi: x = 0, y = 2 i linią y = e^x ;

i) f(x,y) = xy‘¹'; . D jest odcinkiem paraboli y = x² odcię

^f(x,y) = xy ; D jest obszarem ograniczonym parabolą: y = x“ - 3 oraz prostą y = i ; e) f (x,y) = e*'⁴' ; . D jest obszarem ograniczonym prostymi: x = 0, x = i, y = 0, y = 1; h) f(x,y) = V£y; a jest obszarem ograniczonym prostymi: x = 0, x = a > 0, y = O, y = b > O;

tym przez prostą:    x + y = 2 ;

j) f(x,y) = x + y; p jest. obszarem ograniczonym prostymi: x = O, y = O, _x + y = 2 ;

Li

D jest obszarem ograniczonym pro

f(x,y) = x + y; D jest obszarem ograniczonym prostą:

2

y = X i parabolą y = x ;

f(x,y) = xy; D jest obszarem ograniczonym parabolą: o

y = 2x i prostą X = 2 ;

f(x,y) = xy; obszar D jest trójkątem o wierzchołkach 0(0,0),    A(a,0),    B(0,b)j

O    O

f(x,y) = xy; obszar D jest ćwiartką koła:    x +y < 1

x > O, y > O,

i.^obszaTbm^-ograniczonym liniami

f(x,y) = x y, D jest obszarpm,_ogi’ańićźonyra liniami

f(x,yj = sin(x + y), D jest obszarem ograniczonym !!• niami:    y = O, y = x ,    x+y=^;

o

f(x,y) = x (y-x), D jest obszarem ograniczonym linia' mi:    x = y², y = x² ;

f(x,y) = x + y, D jest obszarem, ograniczonym liniami x = 0, y *> O, x + y = 3 ;

£(x,y) = x + y, D jest obszarem ograniczonym liniami

D jest trójkątem o wierzchołkach

Odpowiedzi