CCF20090213055

Twierdzenie Godła o niezupełności i jego dowód są skrajnie abstrakcyjne i skomplikowane, ale stosując wiele skrótów, postaram się wyłożyć ich istotę. Jeśli kiedykolwiek uczyłeś się geometrii, przynajmniej zetknąłeś się z pojęciem aksjomatu - czyli fundamentalnego założenia, wykorzystywanego do wywodzenia wszelkich pozostałych prawdziwych twierdzeń. Przykłady aksjomatów w arytmetyce to m.in. „zero jest liczbą” i „liczba jest równa samej sobie”. Ponieważ uważane są za pewne, ich prawdziwości się nie dowodzi. Na pięciu aksjomatach oparł całą swoją geometrię Euklides.

Od czasów Arystotelesa naukowcy i filozofowie usiłują rozszerzyć osiągnięcie Euklidesa na inne dziedziny wiedzy. Mają nadzieję, że dysponując zbiorem aksjomatów i przyjętych reguł wnioskowania, potrafiliby odrzucać łub przyjmować hipotezy z absolutną pewnością i ostatecznie uzyskać wszystkie możliwe prawdy. Ale z rozwojem metod eksperymentalnych w naukach przyrodniczych porzucono to marzenie, pozostawiając je czystej matematyce. Tu natomiast odnotowano znaczący sukces: pod koniec dziewiętnastego wieku Gottlob Frege i Giuseppe Peano opracowali systemy pojęć, które spajają matematykę i logikę, a w roku 1910 Whitehead i Russell oparli w końcu, jak się wydawało, arytmetykę na takiej samej solidnej aksjomatycznej bazie, na jakiej opiera się geometria euklidesowa.

Ich triumf był jednak krótki. Whitehead i Russell dążyli do uzyskania systemu zawierającego niewielką liczbę aksjomatów i reguł wnioskowania, który byłby zarówno spójny, jak i zupełny. System jest spójny, jak już powiedzieliśmy, jeśli w jego obrębie nie da się dowieść sprzecznych twierdzeń. Czyli że jeśli możesz udowodnić twierdzenie „2 + 2 = 4”, wtedy nie uda ci się udowodnić sprzecznego z nim twierdzenia „2 + 2*4”.

System aksjomatyczny Whiteheada i Russella wydawał się spójny, pod warunkiem stosowania zaproponowanych przez nich reguł wnioskowania, i na razie przyjmiemy tę spójność za pewnik. Stajemy jednak przed pytaniem, czy ich system był zupełny - czyli czy można było w nim wyprowadzić wszystkie prawdziwe arytmetyczne twierdzenia i czy wszystkie prawdziwe arytmetyczne twierdzenia można by w tym systemie udowodnić. To właśnie pytanie nurtowało Godła, a odpowiedział na nie w artykule Uber format unent-scheidbare Satze (1931).

Właśnie w tym artykule Godeł dowiódł, że żaden skończony, spójny system aksjomatyczny nie może być nigdy zupełny i że niezależnie od tego, jak dużo aksjomatów doda się do formalnego logicznego systemu, aby zlikwidować jego niedostatki, zawsze będzie możliwe znalezienie prawdziwego twierdzenia, którego nie da się udowodnić w obrębie tego systemu.

Dowód Godła jest majstersztykiem. Wykorzystując symboliczną logikę Principiów, wymyślił on sposób łączenia w pary każdego symbolu, aksjomatu, twierdzenia czy dowodu z unikatową liczbą, nazwijmy ją „liczbą Godła”. Na użytek tej dyskusji załóżmy, że liczba Godła dla aksjomatu „x = x” („liczba jest równa samej sobie”) wynosi 156. Stosując prostą zasadę dedukcji, z twierdzenia „x = x” możemy wyprowadzić równanie „0 = 0”. Powiedzmy, że liczba Godła dla „0 = 0” wynosi 72. Godeł wykazał, że twierdzenie takie jak „«0 - 0» jest prawdziwym twierdzeniem” może zostać sprowadzone to wzoru wiążącego liczby Godła - w tym wypadku liczby 156 i 72.

Takie twierdzenie nie jest jednak twierdzeniem mieszczącym się w obrębie systemu - jest twierdzeniem o systemie. Inne takie „me-taarytmetyczne” twierdzenia to np. „«2 + 2 - 5» jest fałszem”, „Jeśli twierdzenie T jest prawdziwe, wtedy system jest niespójny” oraz „Twierdzenia S nie można ani dowieść, ani obalić w obrębie rozpatrywanego systemu”. Dzięki sposobowi, w jaki Godeł dobrał swoje liczby, każdemu takiemu metaarytmetycznemu twierdzeniu odpowiadała matematyczna relacja pomiędzy liczbami Godła - innymi słowy metaarytmetyczne twierdzenia mogły być modelowane lub „tłumaczone” w obrębie arytmetyki,

Wtedy Godeł wyciągnął królika z kapelusza. Wykorzystując liczby Godła, skonstruował twierdzenie arytmetyczne - nazwijmy je G - którego metaarytmetycznym tłumaczeniem było „formuła G nie może zostać udowodniona”. Jeśli G jest twierdzeniem prawdziwym, wtedy również „G nie może zostać udowodnione” jest prawdziwe i dlatego system jest niezupełny - znaleźliśmy prawdziwe twierdzenie, którego nie można dowieść w obrębie systemu. Jeśli

113