CCF20090321011

padków sprzyjających jako np H~ h, gdzie h może być liczbą dodatnią lub ujemną. Ta liczba h nazywa się, na mocy definicji, odchyleniem; otóż doniosłym zadaniem teorii prób powtarzanych jest sformułowanie prawa odchyleń lub, ściślej, prawdopodobieństw przyporządkowanych różnym wielkościom odchylenia.

Gdy liczba n jest niewielka, problem ten daje się łatwo rozwiązać za pomocą trójkąta Pascala Załóżmy dla przykładu, że rozgrywamy partię gry w orła i reszkę złożoną z 4 kolejnych rzutów i rozważmy którąkolwiek kombinację 4 liter O i R, np. RROR. Prawdopodobieństwo uzyskania R w pierwszym rzucie wynosi , prawdopodobień-

l    1

stwo uzyskania R w drugim rzucie — również ~ > prawdopodobieństwa uzyskania O w trzecim rzu-cie i R w czwartym wynoszą także po — . Prawdopodobieństwo uzyskania RROR jest zatem iloczynem czterech czynników równych ; prawdopodobieństwo to wynosi więc ^ , i tyleż wynosi prawdopodobieństwo każdej innej kombinacji czterech liter R lub O. Wiemy jednak (por. § 8), że jedna spośród tych kombinacji zawiera 4R, jedna zawiera 40, ponadto zaś mamy cztery różne kombinacje zawierające 3R i 10, cztery kombinacje zawierające 30 i IR i wreszcie 6 kombinacji zawierających 2R i 20. Te dwie ostatnie kombinacje odpowiadają odchyleniu h równemu O; prawdopodobieństwo takiego odchylenia wynosi zatem ~ — 7 ■ Istnieją cztery kombinacje odpowiadające odchyleniu 4-1 i cztery inne odpowiadające odchyleniu ■— 1; prawdopodobieństwo każdego z tych odchyleń wynosi więc ^ , czyli --.

Wreszcie prawdopodobieństwa odchyleń + 2 i —2 1

wynoszą po

W przypadku gdy liczba n jest dość duża, np. przekracza 40 czy 50, wówczas obliczenia metodą 26

trójkąta Pascala stają się, jak powiedzieliśmy, procedurą nazbyt uciążliwą. Wygodniej w takich wypadkach posłużyć się wzorami przybliżonymi, które stosuje się właśnie przy założeniu, iż wartość n jest dostatecznie duża. Wzory te podają najzupełniej zadowalające wyniki przybliżone, gdy tylko n osiąga wartości, przy których trójkąt Pascala jest zbyt uciążliwy w stosowaniu ¹.

Wzory te opierają się na rozważaniach dotyczących pewnej liczby u, którą nazywamy jednostką odchylenia i która równa się, na mocy definicji, pierwiastkowi kwadratowemu z 2npq. Zajmiemy się przede wszystkim dwoma przypadkami szczególnymi o dużej doniosłości praktycznej. Pierwszy z tych przypadków szczególnych to ten, w którym obie liczby, p i q, są równe lub niewiele tylko różnią się od siebie (jak w przypadku ruletki p i ||); iloczyn pq równa się wówczas -- (lub niewiele odbiega od..-j), tak że jednostką odchylenia równa .się pierwiastkowi kwadratowemu z~ n. Otóż j n przy p = stanowi właśnie liczbę liczbie prawdopodobną przypadków sprzyjających. Toteż w rozważanym obecnie szczególnym przypadku jednostka odchylenia u jest równa pierwiastkowi kwadaratowemu z owej liczby prawdopodobnej.

Drugi przypadek szczególny to ten, w którym liczba p jest niewielka, a liczba q, tym samym dostatecznie bliska jedności, aby można ją było przyjąć za równą jedności. Tak jest wtedy na przykład, gdy stawiamy na określony numer w ruletce; prawdopodobieństwo p wynosi tutaj ~ , a q równa się p . Można wówczas przyjąć, że jednostka odchylenia równa się pierwiastkowi kwadratowe-

i Dla ścisłości należałoby dodać, że jeśli jedna z dwu liczb, p lub q, jest bardzo mała, trzeba obierać n dostatecznie duże, ażeby iloczyny np i nq nie były zbyt matę (aby przekraczały np. 10 lub 20).

27