CCF20090321015

ilorazowi np + h przez n, wynosi zatem tyle co prawdopodobieństwo p plus pewna wielkość (dodatnia lub ujemna) ^obejmująca iloraz pierwiastka kwadratowego z n przez n, tj. mająca w mianowniku pierwiastek kwadratowy z n, a w liczniku liczbę /l, która, jak wiemy, dla wszelkich prawdopodobieństw nie przekroczy 4 czy 5. Tak oto wygląda sformułowany w języku potocznym najprostszy dowód prawa wielkich liczb. Dowód ten długi czas wydawał się zadowalający; bardziej wnikliwe badania wykazały, że aby uczynić go całkowicie ścisłym, trzeba wykorzystać teorię prawdopodobieństw przeliczalnych, której tutaj wyłożyć nie możemy, którą jednakże można znaleźć w pracach poprzednio wymienionych.

Jeśli dłuższa obserwacja jakiejś serii prób nie potwierdza prawa wielkich liczb, powinniśmy uznać, że uprzednio przyjęta wartość prawdopodobieństwa odnośnego zdarzenia nie jest adekwatna i starać się obliczyć prawdopodobieństwo bardziej poprawnie wykorzystując wyniki eksperymentu i dokładniej badając właściwości użytkowanego materiału. Możemy na przykład podejrzewać, że dana kość ma kształt niezupełnie symetryczny i, obejrzawszy ją uważnie, ustalić, na czym dokładnie polega jej asymetria. Tego rodzaju fakt nie obniża bynajmniej wartości prawa wielkich liczb jako prawa matematycznego ustalonego w drodze poprawnych operacji rachunkowych; stwierdza ono po prostu, żę w danym przypadku wiadomości, w oparciu o które określiliśmy prawdopodobieństwo rozważanego zdarzenia, były nie dość dokładne; założyliśmy, że kość była clobrze zrobiona, gdy faktycznie wykonano ją wadliwie.

(14) próby wielokrotne i prawdopodobieństwa

■ ścisłe

Ż teorią prób powtarzanych można związać to, co nazywamy próbami wielokrotnymi; próby wielokrotne polegają na dokonywaniu tej samej próby w warunkach nie całkowicie identycznych, lecz zawierających pewien element zmienny. Załóżmy np., że zwracamy się kolejno do pewnej liczby osób prosząc każdą z nich, by wymieniła dowolną dwucyfrową liczbę Całkowitą. Jeśli ktoś spośród indagowanych nie rozumie pytania i daje odpowiedź. nieprawidłową, nie bierzemy jej pod uwagę.

Wykorzystując próby wielokrotne możemy — zś pomocą prawdopodobieństw słabo znanych lub bardzo nieścisłych — obliczać pewne inne prawdopodobieństwa z wielką dokładnością.

Rzecz stanie się zrozumiała, jeśli rozwiążemy następujący problem. Nie wiemy, czy pewna liczba a okaże się parzysta czy nieparzysta, przyjmujemy jednak, że prawdopodobieństwo jej parzystości wynosi — + e, a prawdopodobieństwo jej nieparzystości \ e; to samo dotyczy liczby b, z tym tylko, że e zamienia się tu na e'. Co można powiedzieć o liczbie a + b?

Liczba a ■+ b byłaby parzysta w dwóch przypadkach: gdyby obie liczby a i b były parzyste i gdyby obie były nieparzyste. Prawdopodobieństwo parzystości liczby a + b wynosi zatem ¹

(| + ^£) (7 + ^£') + (t - «) (7 ~ «') = i4- 2es.

Łatwo stąd wywnioskować, że jeśli zagadniemy n osób prosząc każdą, by wymieniła jakąś dwucyfrową liczbę całkowitą, prawdopodobieństwo tego, że suma n wybranych liczb całkowitych będzie liczbą parzystą, wyniesie p == i -f 2”^-1 e_le₂

gdzie «!, e₂,..., e_n oznaczają liczby dodatnie lub ujemne, które należy dodać do y, aby otrzymać prawdopodobieństwo tego, że każdy z zagadnię-

1

Korzyśtamy tu z twierdzeń o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw, które można znaleźć na pierwszych stronicach Jakiegokolwiek podręcznika teorii prawdopodobieństwa.