ÿþP o l i t e c h n i k a B i a Bo s t o c k a
W y d z i a B M e c h a n i c z n y
I n s t r u k c j a d o z a j l a b o r a t o r y j n y c h
T e m a t w i c z e n i a : A n a l i z a c z s t o t l i w o [c i o w a z w y k o r z y s t a n i e m
t r a n s f o r m a t y F o u r i e r a
N u m e r w i c z e n i a : 4
L a b o r a t o r i u m z p r z e d m i o t u :
T e o r i a s y g n a Bó w i s y s t e m ó w
K o d :
B i a By s t o k 2 0 0 5
1 . W p r o w a d z e n i e
2
3
G s t o [ w i d m o w a m o c y
N a p o d s t a w i e w i d m a s y g n a Bu X ( f ) m o |e m y w y z n a c z y g s t o [ w i d m o w m o c y P x x ( f )
o k r e [l o n n a s t p u j c o :
- g s t o [ w i d m o w a m o c y w Ba s n e j :
2
*
X ( f )
X ( f ) X ( f )
P x x ( f ) = l i m = l i m ( 5 )
T ’! " T ’! "
T T
l u b i n a c z e j p r z y N f r a g m e n t a c h s y g n a Bu o c z a s i e t r w a n i a T o :
2 2
N
X ( f ) X ( f )
1 1
P x x ( f ) = l i m = ( 6 )
" i
N ’! "
N T o N T o
i = 1
- g s t o [ w i d m o w a m o c y w z a j e m n e j :
N
1 X ( f ) Y * ( f ) 1 X i ( f ) Y i ( f )
P x y ( f ) = l i m = ( 7 )
" T o
N ’! "
N T o N
i = 1
W p r a k t y c e c z s t o k o r z y s t a s i z r e a l i z a c j i g s t o [c i w i d m o w e j m o c y o b s e r w u j c p r o -
c e s N - k r o t n i e w c z a s i e j e g o t r w a n i a T o . I l o [ f r a g m e n t ó w i i c h t r a n s f o r m a t X i ( f ) ,
i = 1 , . . . , N n a l e |y d o b r a t a k , a b y o c e n a w i d m a b y Ba s t a c j o n a r n a z e w z g l d u n a N .
S t o s o w a n i e o k n a p o m i a r o w e g o
P o m i a r k a |d e g o s y g n a Bu o d b y w a s i w s k o Dc z o n y m c z a s i e a z a t e m m a p o c z t e k i k o -
n i e c ( r ó w n i e | s y g n a B w y g e n e r o w a n y p r o g r a m o w o p r z e z s y s t e m k o m p u t e r o w y ) . Z a d a n e t a k
w a r u n k i n i e z a p e w n i a j p e Bn e j r e p r e z e n t a c j i s y g n a Bu w c z a s i e ( s y g n a B i s t n i e j e r ó w n i e | p o z a
w y z n a c z o n y m i m o m e n t e m j e g o p o c z t k u i k o Dc a ) . Z a t e m m ó w i s i o w y c i n k u s y g n a Bu a n i e
o j e g o c a Bk o w i t e j r e p r e z e n t a c j i a c o z t e g o w y n i k a o i s t n i e n i u o k n a p o m i a r o w e g o . P o d c z a s
4
a n a l i z y t a k i e g o s y g n a Bu o k n o p o m i a r o w e w p r o w a d z a z n i e k s z t a Bc e n i a , u j a w n i a j c e s i g Bó w n i e
p r z y a n a l i z i e c z s t o t l i w o [c i o w e j a p r z y c z y n t a k i e g o s t a n u r z e c z y j e s t f a k t , |e n i e z a l e |n i e o d
w o l i o s o b y a n a l i z u j c e j s y g n a B, t r a n s f o r m a c j i d o p r z e s t r z e n i c z s t o t l i w o [c i p o d l e g a i l o c z y n
s y g n a Bu i o k n a , w k t ó r y m d o k o n a n o p o m i a r u .
N a r y s . 1 p o k a z a n o s y g n a B r z e c z y w i s t y Æ( t ) o r a z f u n k c j o k n a p r o s t o k t n e g o w ( t )
( w ( t ) = 1 d l a T / 2 d" t d" T / 2 , w ( t ) = 0 d l a t < T / 2 i t > T / 2 ) .
R y s . 1 . R e p r e z e n t a c j a g r a f i c z n a s y g n a Bu r z e c z y w i s t e g o w p r o s t o k t n y m o k n i e p o m i a r o w y m
T r a n s f o r m a t a F o u r i e r a o k n a p r o s t o k t n e g o o p i s u j e p o s t a ( 8 ) :
s i n ( Àf T )
W ( f ) = T ( 8 )
Àf T
l u b t e |
s i n ( À ( f - f i ) T )
W ( f ) = T ( 9 )
À ( f - f i ) T
g d z i e :
T d Bu g o [ o k n a ,
f c z s t o t l i w o [ b i e |c a ,
f i d y s k r e t n a w a r t o [ c z s t o t l i w o [c i [r o d k o w e j t r a n s f o r m a t y o k n a ( d o w o l n e w a r t o [c i
p o Bo |e n i a p r |k ó w w b a d a n y m w i d m i e ) .
R ó |n i c a ( f f i ) w y r a |a o d s t p c z s t o t l i w o [c i b i e |c e j o d [r o d k o w e j . W p By w o k n a p o -
m i a r o w e g o u j a w n i a s i g Bó w n i e w m i e j s c a c h w y s t p o w a n i a p r |k ó w c z s t o t l i w o [c i o w y c h
w w i d m i e b a d a n e g o s y g n a Bu . R e p r e z e n t a c j g r a f i c z n f u n k c j i W ( f ) p o k a z a n o n a r y s . 2 .
5
R y s . 2 . R e p r e z e n t a c j a g r a f i c z n a t r a n s f o r m a t y F o u r i e r a p r o s t o k t n e g o o k n a p o m i a r o w e g o
W w y n i k u u w z g l d n i e n i a o k n a p o m i a r o w e g o w ( t ) , n a p o d s t a w i e p i e r w o t n e g o s y g n a Bu
Æ( t ) , o t r z y m u j e s i s y g n a B f ( t ) :
f ( t ) = Õ( t ) Å" w ( t ) . ( 1 0 )
W ó w c z a s t r a n s f o r m a t a F ( f ) o k r e [l o n a j e s t z a l e |n o [c i :
"
F ( t ) =
( 1 1 )
+"Õ( t ) Å" w ( t ) Å" e - 2 Àf t d t .
- "
Z a p i s u j c m n o |e n i e s p l o t o w e w p o s t a c i a n a l i t y c z n e j i p o d s t a w i a j c ( 9 ) o t r z y m u j e s i :
"
T s i n ( À ( f - f i ) T )
F ( f ) = ¦ ( f ) d f
( 1 2 )
+"
À ( f - f i ) T
- "
a z a t e m :
F ( f ) `"¦ ( f ) ( 1 3 )
P r z y k Ba d e m p o w s t a n i a z n i e k s z t a Bc e n i a w i d m a w y w o Ba n y m i s t n i e n i e m o k n a j e s t f a k t ,
|e p r z y z m n i e j s z a n i u s i o d l e g Bo [c i p o m i d z y c z s t o t l i w o [c i a m i a n a l i z o w a n e g o s y g n a Bu f 1 i f 2
w y k r e s y f u n k c j i W ( f ) r o z p i t e n a t y c h c z s t o t l i w o [c i a c h z a c z n s i s u m o w a . W y s t p u j
w ó w c z a s z n i e k s z t a Bc e n i a j a k o [c i o w e ( j e d n a s k Ba d o w a z a m i a s t d w ó c h ) i i l o [c i o w e ( w i k s z a
a m p l i t u d a ) . O b a b Bd y w y n i k a j z u t r a t y r o z r ó |n i a l n o [c i s k Ba d o w y c h w i d m o w y c h .
W c e l u p o l e p s z e n i a r o z r ó |n i a l n o [c i i z m n i e j s z e n i a z a k Bó c e D w i d m a w y n i k a j c y c h z
o b c i c i a s y g n a Bu p r z e z o k n o p o m i a r o w e s t o s u j e s i r ó |n e g o r o d z a j u o k n a k o r e k c y j n e . N i e z a -
l e |n i e o d t y p u z a s t o s o w a n e g o o k n a k o r e k c y j n e g o , o s i g n i t a w t e n s p o s ó b m o d y f i k a c j a p o l e -
g a n a z Ba g o d z e n i u p i o n o w y c h o b c i s y g n a Bu n a p o c z t k u i n a k o Dc u p o m i a r u . W y r ó |n i a s i
t r y g o n o m e t r y c z n e , p o t g o w e i w y k Ba d n i c z e o k n a k o r e k c y j n e . N a j c z [c i e j w y k o r z y s t y w a n e s
o k n a t r y g o n o m e t r y c z n e a w [r ó d n i c h n a j b a r d z i e j z n a n e s o k n a , k t ó r e p r z y j By n a z w y o d n a -
z w i s k i c h t w ó r c ó w :
- o k n o v o n H a n n a ( o k n o H a n n i n g a ) :
6
2 Àt T
w H n ( t ) = 0 , 5 + 0 , 5 Å" c o s ( ) d l a t d"
T 2
i
T
w H n ( t ) = 0 d l a t >
2
- o k n o H a m m i n g a :
2 Àt
w H m ( t ) = a + ( 1 - a ) Å" c o s ( ) d l a t d" T
T
i , g d z i e : a "< 0 , 5 ; 1 >
w H m ( t ) = 0 d l a t > T
O k n o H a n n i n g a j e s t n a j b a r d z i e j r o z p o w s z e c h n i o n y m o k n e m k o r e k c y j n y m i w s y s t e -
m a c h o b r ó b k i s y g n a Bó w b y w a o b l i g a t o r y j n i e u m i e s z c z a n e w o p r o g r a m o w a n i u o r a z c z s t o
w c z [c i s p r z t o w e j .
N a r y s . 3 p r z e d s t a w i o n o p o r ó w n a n i e t r a n s f o r m a t y p r o s t o k t n e g o o k n a p o m i a r o w e g o
W ( f ) i t r a n s f o r m a t y k o r e k c y j n e g o o k n a H a n n i n g a W H n ( f ) . O c z e k u j e s i t u t a j , |e p r z y z a s t o s o -
w a n i u o k n a k o r e k c y j n e g o n a s t p i z n a c z n e z m n i e j s z e n i e z n i e k s z t a Bc e n i a w i d m a , w y n i k a j c e z
i s t n i e n i a l i s t k ó w b o c z n y c h .
R y s . 3 . P o r ó w n a n i e t r a n s f o r m a t y o k n a p r o s t o k t n e g o i o k n a H a n n i n g a
F u n k c j e p r o g r a m u M A T L A B d o w y k o r z y s t a n i a w w i c z e n i u :
F u n k c j a P r z e z n a c z e n i e
f f t D y s k r e t n a t r a n s f o r m a t a F o u r i e r a
a b s O b l i c z e n i e m o d u Bu ( w a r t o [c i b e z w z g l d n e j )
p s d E s t y m a c j a g s t o [c i w i d m o w e j m o c y m e t o d W e l c h a
h a n n O k n o H a n n a ( H a n n i n g )
h a m m i n g O k n o H a m m i n g a ( H a m m i n g )
r e c t w i n O k n o p r o s t o k t n e
t r i a n g O k n o t r ó j k t n e
b l a c k m a n O k n o t y p u B l a c k m a n
7
2 . W y k o n a n i e w i c z e n i a
a ) w y g e n e r o w a s y g n a By x 1 ( t ) , x 2 ( t ) i x 3 ( t ) o p i s a n e n a s t p u j c o :
x 1 ( t ) = A 1 1 Å" c o s ( 2 Å"À Å" f 1 1 Å" t ) ,
x 2 ( t ) = A 2 1 Å" c o s ( 2 Å"À Å" f 2 1 Å" t ) + A 2 2 Å" c o s ( 2 Å"À Å" f 2 2 Å" t ) ,
x 3 ( t ) = A 3 1 Å" c o s ( 2 Å"À Å" f 3 1 Å" t ) + A 3 2 Å" c o s ( 2 Å"À Å" f 3 2 Å" t ) + A 3 3 Å" c o s ( 2 Å"À Å" f 3 3 Å" t ) ;
g d z i e :
f 1 1 , f 2 1 , f 2 2 , f 3 1 , f 3 2 , f 3 3 c z s t o t l i w o [c i k o l e j n y c h s k Ba d o w y c h ,
A 1 1 , A 2 1 , A 2 2 , A 3 1 , A 3 2 , A 3 3 a m p l i t u d y k o l e j n y c h s k Ba d o w y c h ,
b ) w y z n a c z y w i d m a X 1 ( f ) , X 2 ( f ) i X 3 ( f ) ( f u n k c j a f f t ( . . ) ) ,
c ) w y k r e [l i w i d m a a m p l i t u d o w e | X 1 ( f ) | , | X 2 ) | i X 3 f ) | ,
d ) d o k o n a s k a l o w a n i a o s i c z s t o t l i w o [c i z g o d n i e z z a l e |n o [c i :
i
f i = Å" f , g d z i e : i = 0 . . N - 1 ( N i l o [ d a n y c h w e k t o r a s y g n a Bu ) ,
p
N
f p c z s t o t l i w o [ p r ó b k o w a n i a .
e ) d o k o n a s k a l o w a n i a o s i a m p l i t u d y z g o d n i e z z a l e |n o [c i ( 4 ) ,
e ) w y k r e [l i w i d m a a m p l i t u d o w e w y s k a l o w a n e w w a r t o [c i a c h a m p l i t u d y i c z s t o t l i w o [c i ,
f ) w y z n a c z y e s t y m a c j g s t o [c i w i d m o w e j m o c y s y g n a Bu x 1 ( t ) , x 2 ( t ) i x 3 ( t ) m e t o d W e l c h a
( f u n k c j a p s d ( . . ) ) ,
g ) w y z n a c z y g s t o [ w i d m o w m o c y s y g n a Bu x 1 ( t ) , x 2 ( t ) i x 3 ( t ) p r z y w y k o r z y s t a n i u w i d m a
X 1 ( f ) , X 2 ( f ) i X 3 ( f ) ,
h ) w y z n a c z y w i d m a s y g n a Bu x 1 ( t ) , x 2 ( t ) i x 3 ( t ) z z a s t o s o w a n i e m o k n a H a n n i n g a , H a m m i n g a ,
o k n a t y p u B l a c k m a n , o k n a p r o s t o k t n e g o i t r ó j k t n e g o ,
i ) w y k r e [l i w i d m a a m p l i t u d o w e s y g n a Bó w z z a s t o s o w a n i e m o k i e n ,
j ) p o r ó w n a w i d m o a m p l i t u d o w e s y g n a Bu x 1 ( t ) z o k n e m p r o s t o k t n y m o c z a s i e t r w a n i a b d -
c y m c a Bk o w i t w i e l o k r o t n o [c i o k r e s u T 1 = 1 / f 1 1 z w i d m e m a m p l i t u d o w y m t e g o s a m e g o
s y g n a Bu z o k n e m p r o s t o k t n y m o c z a s i e t r w a n i a n i e b d c y m c a Bk o w i t w i e l o k r o t n o [c i
o k r e s u T 1 ,
k ) p o r ó w n a w i d m o a m p l i t u d o w e s y g n a Bu x 1 ( t ) z o k n e m p r o s t o k t n y m o c z a s i e t r w a n i a n i e
b d c y m c a Bk o w i t w i e l o k r o t n o [c i o k r e s u T 1 z w i d m e m a m p l i t u d o w y m z z a s t o s o w a n i e m
o k n a H a n n i n g a i H a m m i n g a o t a k i e j s a m e j d Bu g o [c i j a k p r z y o k n i e p r o s t o k t n y m .
8
L i t e r a t u r a
1 . S z a b a t i n J . : P o d s t a w y t e o r i i s y g n a Bó w . W K A, W a r s z a w a 2 0 0 3 .
2 . P a s k o M . , W a l c z a k J . : T e o r i a s y g n a Bó w . W y d a w . P o l i t e c h n i k i Zl s k i e j , G l i w i c e 1 9 9 9 .
3 . I z y d o r c z y k J . , P Bo n k a G . : t e o r i a s y g n a Bó w . W y d a w . H E L I O N , G l i w i c e 1 9 9 9 .
4 . K u r o w s k i W . : P o d s t a w y t e o r e t y c z n e k o m p u t e r o w e g o m i e r n i c t w a s y s t e m ó w m e c h a -
n i c z n y c h . W y d a w . P o l i t e c h n i k i B i a Bo s t o c k i e j , B i a By s t o k 1 9 9 4 .
5 . S m y c z e k J . : T e o r i a s y g n a Bó w i i n f o r m a c j i . C z . I . , W y d a w . P o l i t e c h n i k i Aó d z k i e j ,
Aó d z 1 9 9 1 .
6 . W o j n a r A . : T e o r i a s y g n a Bó w . W N T , W a r s z a w a 1 9 8 8 .
9
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