Metoda czynnościowa w nauczaniu matematyki
Jedną z metod nauczania matematyki, które warto wykorzystać na lekcjach jest
nauczanie czynnościowe. Stosowanie tej metody nie zależy od etapu kształcenia, ani od
sekwencji zastosowanych na lekcji środków dydaktycznych, lecz od  ścisłego zdefiniowania
zależności pomiędzy istotą wprowadzanych, względnie modyfikowanych i
wzbogacanych, pojęć matematycznych oraz charakterem i stylem metodycznego
postępowania nauczyciela .[1] Zależność ta opiera się na dwóch zasadach
: matematycznej i psychologicznej. Pierwsza z nich odwołuje się do istoty pojęć
matematycznych i wymaga przeprowadzenia dokładnej analizy teoretycznej czynności, jakie
tkwią w każdym pojęciu, twierdzeniu, rozumowaniu matematycznym. Druga natomiast ma
charakter psychologiczny i wymaga stworzenia w nauczaniu sytuacji problemowych
prowadzących od czynności konkretnych, przez wyobrażone do pomyślanych
(abstrakcyjnych).
Istota czynnościowego nauczania matematyki
Bez wątpienia do idei wciąż żywych, aktualnych i ciągle podlegających rozwojowi
należy metoda czynnościowa nauczania matematyki. Twórcą koncepcji czynnościowego
nauczania matematyki jest profesor Zofia Krygowska. To ona po raz pierwszy zwróciła
uwagę na znaczenie i konieczność powiązania wiedzy psychologicznej z matematyką i jej
nauczaniem. W miarę upływu lat koncepcja ta zyskiwała coraz pewniejsze podstawy i coraz
większą popularność wśród dydaktyków i nauczycieli matematyki. Toteż jest ona dziś często
wymieniana wśród wielce obiecujących strategii dydaktycznych, potencjalnie możliwych do
bezpośredniego wykorzystania w szkole.
Zatem koncepcja czynnościowego nauczania matematyki opiera się z jednej strony na
podstawach metodologicznych matematyki jako nauki, z drugiej zaś strony na psychologii
procesu kształtowania się pojęć. Operatywny charakter pojęć i podstawy psychologiczne
procesu kształtowania się pojęć przyjęła Z. Krygowska w  Zarysie dydaktyki matematyki
charakteryzując koncepcję czynnościowego nauczania:  Czynnościowe nauczanie matematyki
jest postępowaniem dydaktycznym uwzględniającym stale i konsekwentnie operatywny
charakter matematyki równolegle z psychologicznym procesem interioryzacji prowadzącym
od czynności konkretnych i wyobrażeniowych do operacji abstrakcyjnych. Czynnościowe
nauczanie matematyki opiera się więc :
a) na wydobyciu przez analizę teoretyczną z materiału nauczania podstawowych operacji
w każdej definicji, twierdzeniu, dowodzie,
b) na świadomym organizowaniu sytuacji problemowych sprzyjających procesowi
interioryzacji i kształtowaniu myślenia matematycznego ucznia jako specyficznego
działania , jako swobodnego i świadomego posługiwania się przyswajanymi stopniowo
operacjami, oraz na konsekwentnym stosowaniu zabiegów dydaktycznych mających na
celu zapewnienie prawidłowości i efektywności tego procesu. [2]
Z powyższej charakterystyki wynika, że podczas przygotowywania propozycji
dydaktycznego opracowania jakiegoś pojęcia w sposób czynnościowy należy dokonać
matematycznej analizy operacji tkwiących w tym pojęciu (tzn. wyróżnić ciąg czynności
prowadzących do konstrukcji jego desygnatów). Równolegle  uwzględniając prawidłowości
psychologiczne  należy zaplanować różnego rodzaju ćwiczenia , które pozwolą uczniowi
przebyć drogę od czynności konkretnych, poprzez wyobrażeniowe do abstrakcyjnych.
Jedną z dwóch fundamentalnych zasad czynnościowego nauczania matematyki jest
organizowanie sytuacji problemowych sprzyjających występowaniu trzech rodzajów
operacji: konkretnych, wyobrażeniowych i abstrakcyjnych . I właśnie ta zasada jest
umotywowana teorią operacyjno-interiorystyczną J. Piageta, który jako podstawowy
mechanizm ludzkiego myślenia przyjął interioryzację, uwewnętrznienie, czyli proces
przebiegający od konkretnych czynności do abstrakcyjnych operacji.
Zabiegi dydaktyczne w nauczaniu czynnościowym
Konfrontacja operatywnego charakteru matematyki z psychologiczną koncepcją
interioryzacji wskazuje dydaktyce matematyki specyficzną drogę  od konkretu do
abstrakcji matematycznej . I właśnie tą drogą jest  czynnościowe nauczanie matematyki .
Zofia Krygowska proponuje szereg zabiegów dydaktycznych, które mają na celu zapewnienie
prawidłowości i efektywności kształcenia z użyciem powyższej metody. Są to następujące
zalecenia:
a) Wiązanie treści matematycznych z wyraz
nie formułowanymi schematami
postępowania ( np. definicje genetyczne, reguły wynikające z twierdzeń, ujawnianie
ogólniejszych metod w toku całego nauczania, pytanie: jak to mogę wykorzystać? , itp.).
b) Wiązanie operacji z operacjami do nich odwrotnymi.
c) Wiązanie operacji z różnych dziedzin matematyki w bardziej złożone schematy.
d) Uwzględnianie różnych ciągów operacji prowadzących do tego samego rezultatu (np.
czynnościowa interpretacja  dwustronna wzorów algebraicznych i trygonometrycznych,
ujawnianie równoważności pewnych definicji, ujawnianie różnych warunków
wystarczających dla tej samej tezy, różnych dowodów tego samego twierdzenia, różnych
sposobów rozwiązywania tego samego zadania, itp.).
e) Stawianie ucznia w sytuacjach konfliktowych, w których przyswojone mu schematy
postępowania zawodzą i w których uczeń musi bądz
dokonywać przekształcenia
(adaptacji) dawnego schematu lub wypracować nowy.
f) Opis słowny operacji, którymi uczeń myśli, szczególnie w niższych klasach (co robię?).
g) Algorytmizacja rozwiązania zadania z zastosowaniem różnych form zapisu (drzewa i
inne organigramy) tam, gdzie to jest celowe i możliwe.
h) Właściwe i celowe wiązanie czynności konkretnych (zapis symboliczny, rysunek,
czynności rzeczywiste wykonywane na przedmiotach materialnych) z myślowymi
operacjami przy czym czynność konkretna:
-może być z
ródłem procesu interioryzacji, w którym jako jej odbicie powstaje określona
operacja myślowa,
-może być wykonywana równolegle z operacjami myślowymi, wspierać je i stabilizować 
przez odbicie w konkrecie i równocześnie je pobudzać,
-może być weryfikacją w konkrecie efektywności pomyślanego ciągu operacji.
i) Konsekwentne uczenie swobodnego posługiwania się poznanymi operacjami
i przyzwyczajanie ucznia do tego, że tylko określone działanie, a nie tylko bierna
kontemplacja i oczekiwanie na  natchnienie prowadzi do rozwiązania zagadnienia, np.
uczenie korzystania z lektury matematycznej zawsze z ołówkiem w
ręku i kartką papieru, z tłumaczeniem tekstu słownego na ciąg operacji konkretnie lub
symbolicznie
wykonywanych, a nie bierne i wielokrotne czytanie tego tekstu przy zupełnym jego
nierozumieniu , tak często praktykowane przez uczniów).
j) Zwrócenie uwagi na to, aby stosowana symbolika miała również charakter operatywny,
aby wizualnie sugerowała operację (np. strzałki jako symbol przyporządkowania).[3]
Uwagi te oczywiście nie wyczerpują bardzo złożonego zagadnienia dydaktycznego,
wskazują tylko kierunek poszukiwań dydaktycznych otwartych dla każdego nauczyciela.
Celem tych poszukiwań jest racjonalne uczenie myślenia matematycznego jako naturalnego
, dobrze zorganizowanego, ekonomicznego działania w abstrakcji.
 Podobnie jak działanie w praktyce jest oparte na systemie podstawowych prostych
specyficznych czynności elementarnych, przyswajanych dziecku w toku jego doświadczeń
i wychowania, tak i działanie w abstrakcji matematycznej jest oparte na systemie
podstawowych specyficznych operacji myślowych. Tych operacji trzeba świadomie
i planowo uczyć.
Tak więc działanie i czynności mogą i powinny być punktem wyjścia w wielu
zagadnieniach. Wykonując doświadczenia matematyczne ( konstrukcje, obliczenia ), uczeń
może w wyniku tych czynności dojść do nowych pojęć i prawd matematycznych, a opisując
tę czynność, może formułować definicje i twierdzenia w sposób poprawny, wystarczająco
ścisły i naturalny.
Etapy w planowaniu pracy
Czynnościowe nauczanie matematyki jest szczególnie bliskie uczniom Z.
Krygowskiej. Kontynuatorką badań i zagorzałą zwolenniczką tej koncepcji nauczania jest
H. Siwek, która przekłada zasady czynnościowej metody nauczania na język praktyki pracy
nauczycielskiej. Bazuje przy tym na materiale szkoły podstawowej.
Stosowanie metody czynnościowej w planowaniu procesu kształtowania się pojęć
matematycznych powinno polegać na kolejnym przejściu trzech etapów pracy:
Etap 1
Najpierw nauczyciel musi sobie uświadomić jakie etapy rozumowania, jaki ciąg
czynności i w jakiej kolejności należy przeprowadzić, aby skonstruować nowe pojęcie.
Inaczej mówiąc musi on dokonać matematycznej analizy operacji tkwiących w tym pojęciu.
Etap 2
Teraz musi on opracować ogólny plan kształtowania nowego pojęcia. Plan ten opiera się
na przekonaniu, że aby pojęcie zostało prawidłowo i w pełni przyswojone przez dziecko
należy zasymulować przechodzenie dziecka przez kolejne stadia rozwoju intelektualnego:
przedoperacyjne, operacji konkretnych i operacji formalnych. Należy to robić w ten sposób,
aby w każdym symulowanym stadium proces
nauczania przechodził przez trzy systemy przetwarzania i przyswajania informacji:
system reprezentacji enaktywnej, ikonicznej, symbolicznej. Każdemu z tych trzech systemów
odpowiadają innego rodzaju ćwiczenia,
są to odpowiednio: ćwiczenie czynności konkretnych, ćwiczenie czynności wyobrażonych
i ćwiczenie czynności abstrakcyjnych.
Etap 3
W zależności od poziomu nauczania: czynności konkretnych, wyobrażonych lub
abstrakcyjnych, na którym nauczyciel kształtuje dane pojęcie, musi on dobrać konkretne
zadania stymulujące pożądane czynności ucznia. Jednakże sposób doboru ćwiczeń nie może
być przypadkowy.
Typy ćwiczeń
H. Siwek bazując na pracach Z. Krygowskiej opracowała
specyficzną kolejność typów ćwiczeń, które prowadzą w efekcie do ugruntowania pojęcia
na każdym z
powyższych trzech etapów. Oto ich lista:
1. Ćwiczenia  wprost , w których uczeń ma wykonać prostą czynność bądz
ciąg
czynności prowadzących do konstrukcji na przykład desygnatów pojęcia.
2. Ćwiczenia odwrotne do poprzednich, a więc wymagające wykonania czynności
odwrotnej lub ciągu czynności odwrotnych do poprzednich.
3. Ćwiczenia tej samej czynności myślowej na różnych materiałach, w różnych
położeniach, z zastosowaniem różnych zmiennych, w różnych sytuacjach.
4. Ćwiczenia prowadzące do różnych ciągów czynności o tym samym rezultacie,
różne sposoby rozwiązania, racjonalny wybór schematu jako najbardziej
odpowiedniej i najbardziej ekonomicznej drogi wiodącej do rozwiązania zagadnienia.
5. Ćwiczenia w słownym opisie czynności danego rodzaju, konstruowanie planów
postępowania opisujących schematy czynności prowadzących do tworzenia
przykładów definicji, zastosowania twierdzeń, tworzenie schematów sprawozdawczo
 antycypacyjnych, opisywanie przedmiotu abstrakcyjnego za pomocą ciągu
myślowych czynności, jako wyniku czynności konkretnych i wyobrażonych.
6. Ćwiczenia prowokujące konflikt myślowy takiego poziomu, że dziecko chce i może
go pokonać, kontrprzykłady, skrajne przypadki, zadania z błędami uwypuklające
istotne warunki definicji, założenia twierdzeń, itp.
7. Ćwiczenia w różnych formach przedstawiania, ilustrowania lub zapisu tego samego
zadania, opisy tradycyjne, organigramy, drzewka, itp.[4]
Zaproponowanego ciągu ćwiczeń nie należy traktować w sposób sztywny. Nie można
też wymagać, aby koniecznie w projektowanym opracowaniu metodycznym pojawił się
każdy z wymienionych typów ćwiczeń. W zależności od sytuacji należy je stosować
elastycznie i rozsądnie, jednak zgodnie z koncepcją nauczania czynnościowego planując
ćwiczenia wymienionych typów na poziomie operacji konkretnych, następnie wyobrażonych i
abstrakcyjnych. Tak więc pracę można zorganizować według planu ujętego w
poniższej schematycznej tabeli:
Rodzaj czynności
Typ ćwiczeń
konkretne wyobrażone abstrakcyjne
1. Wprost
2. Odwrotne
3. Na różnych
materiałach
4. Z różnymi ciągami
operacji
5. Słowny opis
czynności
6. Konfliktowe
7. Z różnymi formami
zapisu
Nauczyciel matematyki nie musi sam tworzyć zadań do każdego wprowadzanego
pojęcia według powyższego schematu. Musi jednak każde zagadnienie dogłębnie
przeanalizować i tak dobrać dostępne materiały z podręczników, zbiorów zadań, zeszytów
ćwiczeń, tak je pogrupować, aby praca ucznia stała się konsekwentnym procesem
kształtowania nowego pojęcia.
 Dla zilustrowania zasad czynnościowego nauczania matematyki wykorzystam
przykładową listę zadań kształtujących pojęcie prostopadłościanu w klasie IV.
1. Ćwiczenia  wprost
2. Ćwiczenia odwrotne
3. Ćwiczenia na różnych materiałach
4. Ćwiczenia z różnymi ciągami operacji
5. Słowny opis czynności
6. Ćwiczenia konfliktowe
Czynności, które są istotne do powstania danego pojęcia w umysłach uczniów powinny
być zawarte na wszystkich trzech poziomach, tzn. poziomie czynności
konkretnych, wyobrażonych i abstrakcyjnych.
Na poziomie pierwszym czynności ucznia związane są z konkretnymi przedmiotami, z
modelami figur. Uczeń poprzez manipulacje poznaje właściwości prostopadłościanu.
Na drugim z poziomów uczeń operuje rysunkami, schematami
figur. Rozumowanie ucznia jest tutaj całościowe, oparte na uogólnieniach czynności
manipulacyjnych
z pierwszego poziomu. Z kolei zadania z prowokujące czynności wyobrażone stanowią
podstawę do tworzenia się schematów potrzebnych do rozwiązywania zadań z punktu
widzenia metody czynnościowej nazywanych abstrakcyjnymi.
Na trzecim poziomie zmienia się materiał, którym uczeń operuje. Teraz są to głównie
określenia dotyczące właściwości prostopadłościanów. Uczeń je przekształca,
analizuje, porównuje i w ten sposób szuka między nimi związków, określa ich prawdziwość,
uzasadnia formułowanie hipotezy.
Z każdym zestawem zadań doświadczenie ucznia się coraz bardziej wzbogaca, język
opisu zmienia się z konkretnego, poprzez obrazowy, intuicyjny na ścisły, matematyczny,
operujący pojęciami abstrakcyjnymi.
[1] H. Siwek: Czynnościowe nauczanie matematyki, Warszawa 1998, s.5
[2] Z. Krygowska Zarys dydaktyki matematyki, cz. 1,Warszawa 1977, s. 127
[3] Z. Krygowska : Zarys dydaktyki matematyki, cz. 1, Warszawa 1977, s. 127-128
[4] H. Siwek: Czynnościowe nauczanie matematyki, Warszawa 1998, s.95
...