Synteza dz
więku i obrazu
SYNTEZA METOD

MODELOWANIA
FIZYCZNEGO
Metoda matematyczna i falowodowa
Wprowadzenie
Metody modelowania fizycznego nale\
Ä… do
najnowszych metod syntezy dz
więku.
Odmienne podejście do syntezy dz
więku:
bezpośrednia symulacja zjawisk fizycznych
zachodzÄ…cych w rzeczywistych instrumentach.
Symulujemy instrument, a nie dz
więk przez
niego wytwarzany!
Główne metody modelowania fizycznego:
modelowanie matematyczne
metoda falowodowa
MODELOWANIE MATEMATYCZNE
Metoda modelowania matematycznego oparta
jest na bezpośrednim rozwiązywaniu równania
falowego opisujÄ…cego powstawanie dz
więku
w instrumencie.
Funkcja będąca rozwiązaniem równania
falowego stanowi przebieg czasowy dz
więku
syntetycznego.
Rozwiązanie równania falowego wymaga
zło\
onego aparatu matematycznego
(układy równań ró\
niczkowych).
Głównym problemem jest tu właściwy opis
matematyczny procesu powstawania dz
więku
w instrumencie.
Modelowanie matematyczne
Etapy modelowania matematycznego:
sformułowanie systemu, który odzwierciedla
proces wytwarzania dz
więku w rzeczywistym
instrumencie
wyznaczenie wartości parametrów
wykorzystywanych w równaniach
przeprowadzenie symulacji numerycznych
badanie wpływu zmian parametrów modelu
na jego charakterystyki
Model mat. piszczałki organowej
2
d xi dxi
+ ki + ni2 xi = i F
2
dt dt
dx
ëÅ‚ öÅ‚
F = Fnielin.ìÅ‚ , P(t)÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
dt
P0
´ (t ) = Ä
final
P (t )
P(t) = P0 + ( P1 - P0)e(-t /Ä )
Model mat. piszczałki organowej
Organowa piszczałka wargowa  model blokowy
P(t)
Element Model rezonatora
Wejście
nieliniowy F1
M1
n1, k1
v1
F F2
M2
n2, k2
v2
F3
M1
n3, k3
v3
SprzÄ™\
enie zwrotne
v vm
Linia opóz
niajÄ…ca
Wyjście
Model matematyczny piszczałki
Symulacja dla ataku wolnego
Symulacja dla ataku wybuchowego
przedęcie
Metoda matematyczna
Zalety metody matematycznej:
mo\
liwość dokładnej symulacji rzeczywistych
instrumentów (wierność brzmienia)
mo\
liwość uwzględnienia zjawisk
artykulacyjnych
Wady metody:
du\
a zło\
oność obliczeniowa  konieczność
rozwiązywania układu nieliniowych równań
ró\
niczkowych
trudność opisu matematycznego instrumentu
METODA FALOWODOWA
Metoda cyfrowego modelowania falowodowego
ang. digital waveguide modeling
Opracowana na uniwersytecie w Stanford
(USA) na poczÄ…tku lat 90.
Polega na modelowaniu przy pomocy
cyfrowego falowodu fal bie\
Ä…cych
składających się na falę stojącą w danym
instrumencie.
Implementacja: algorytm cyfrowy,
np. program komputerowy.
Model drgajÄ…cej struny
Idealna (bezstratna) drgajÄ…ca struna
Ciśnienie p jest funkcją czasu t oraz miejsca x:
p(x, t)
Równanie falowe (jednowymiarowe):
2 2
" p " p
= c2
"t2 "x2
Model bezstratnej drgajÄ…cej struny
Rozwiązanie ogólne równania falowego dla
idealnej (bezstratnej) drgajÄ…cej struny:
suma dwóch fal bie\
Ä…cych (travelling waves)
propagowanych w przeciwnych kierunkach
x x
p(x,t) = p1(t - ) + p2 (t + )
c c
Próbkowanie modelu struny
Przejście do dziedziny cyfrowej:
Cyfrowy model falowodowy
Model cyfrowy idealnego, bezstratnego falowodu
Model z uwzględnieniem strat energii
Uwzględnienie strat energii w modelu falowodowym
Modelowanie sztywnych zakończeń
Modelowanie drgajÄ…cej struny ze sztywnymi
zakończeniami:
warunki poczÄ…tkowe
Model szarpniętej struny
Idealna struna ze sztywnymi zakończeniami,
pobudzona szarpnięciem (plucked string)
np. gitara
warunki
poczÄ…tkowe:
Inne modele struny
Model idealnej struny uderzonej (struck string),
np. fortepian
Model struny pobudzonej zewnętrznie:
Uwzględnienie strat energii
Model struny z uwzględnieniem strat energii
(tłumienia fali)
Uwzględnienie strat energii
Model struny z uwzględnieniem tłumienia stałego
Model struny Karplusa-Stronga z uwzględnieniem
tłumienia zale\
nego od częstotliwości
SprzÄ™\
enie dwóch strun
Model dwóch strun sprzę\
onych poprzez mostek
Model instrumentu strunowego
Model Model
(a)
Filtr pojedynczej pudła
pobudzenia struny rezonans.
Wyj.
Impuls
y(n)
e(n)
´
(n) E(z) S(z) B(z)
Model
(b)
Filtr pojedynczej
Odpowiedz

pobudzenia struny
impulsowa
Wyjście
pudła rezon.
y(n)
b(n) E(z) S(z)
y(n) = e(n)" s(n) "b(n)= b(n) "e(n)* s(n)
Model instrumentu dętego
Model instrumentu dętego z pojedynczym
stroikiem (single reed), np. klarnet
Model instrumentu smyczkowego
Model instr. smyczkowego (np. wiolonczela)
Modele pobudzenia
Modele pobudzenia zapisywane sÄ… w tablicy
Instr. stroikowy
reed table
Instr. smyczkowy
bow table
Modelowanie falowodu cylindrycznego
(a) (b) (c) (d)
wy
Fb
p+(n-M) p-(n+M)
Fa Fa
p(nT,x) p(nT,x)
"t/2 "t/2 "t
p+(n)
p-(n)
Fa
g1
Fb
Modelowanie kształtu instrumentu
Kształt instrumentu jest aproksymowany za
pomocą układu falowodów cylindrycznych.
Modelowanie kształtu instrumentu
Ró\
nica impedancji akustycznych jest
modelowana za pomocą połączeń rozpraszających
Połączenie rozpraszające
R  pole
powierzchni
przekroju
falowodu
Model piszczałki organowej
Model organowej piszczałki wargowej sterowanej
trakturÄ… mechanicznÄ…
Model piszczałki wargowej
Fb
Fa
dl1
g1
+
4
*
DC
y0
+
u.k.
dl2
g2
+
g.sz
P(t)
.
Model strumienia powietrza
4
*
DC
y0
+
u.k.
dl2
g2
+
g.sz.
P(t)
Model korpusu piszczałki
Fb
Fa
dl1
g1
+
Modelowanie zmian ciśnienia
Odpowiedz
rzeczywistej piszczałki na zmiany
ciśnienia
Modelowanie zmian ciśnienia
Odpowiedz
modelu piszczałki na zmiany ciśnienia
P
P
nom
nom
Symulacja przesunięcia górnej wargi
Symulacja zmiany kÄ…ta nachylenia strumienia
powietrza względem górnej wargi piszczałki
rzeczywista piszczałka model falowodowy
L
[dB]
1
3
2
4
y0 [mm]
Zalety i wady metody falowodowej
Zalety metody falowodowej:
mo\
liwość dokładnej symulacji rzeczywistych
instrumentów (wierność brzmienia)
mo\
liwość uwzględnienia zjawisk
artykulacyjnych
działanie w czasie rzeczywistym
mniejsza zło\
oność obliczeniowa ni\

w metodzie modelowania matematycznego
Zalety i wady metody falowodowej
Wady metody falowodowej:
trudność w formułowaniu modelu fizycznego
instrumentu
du\
a zło\
oność obliczeniowa (w porównaniu
z  klasycznymi metodami syntezy)
problem modelowania pewnych bardziej
skomplikowanych procesów
Wykorzystanie modeli fizycznych
Zastosowanie fizycznych modeli instrumentów
muzycznych w syntezie dz
więku:
badania naukowe  Stanford Univ. (Smith),
Helsinki Univ. of Tech.
instrumenty muzyczne firmy Yamaha
karta dz
więkowa Creative Labs AWE 64
 wybrany zestaw instrumentów (opcja)
syntetyzer programowy Yamaha Sondius XG
Przykład implementacji modeli falowodowych
(C++): Synthesis Toolkit  STK (Perry R. Cook).
Wykorzystanie modeli fizycznych
Lata 70. i 80. XX wieku: metody
matematycznego modelowania instrumentów,
zarzucone  zbyt mała moc obliczeniowa
komputerów, trudność dokonywania obliczeń.
PoczÄ…tek lat 90.: powstaje metoda
falowodowa, rozwijana w wielu ośrodkach
naukowych, du\
e nadzieje, zainteresowanie
firm komercyjnych.
Druga połowa lat 90.: pojawiają się istotne
ograniczenia metody falowodowej, częściowe
zarzucenie prac, utrata zainteresowania.
Wykorzystanie modeli fizycznych (cd.)
Obecnie: stopniowy powrót do metod
modelowania matematycznego (wzrost mocy
obliczeniowej komputerów, nowe narzędzia
matematyczne).
Przyszłość: połączenie obu metod?