TEORIA GIER - semestr zimowy 2011
ZADANIA
3. Gry w postaci ekstensywnej
1. Jaś i Małgosia dostali do podziału między siebie cztery zabawki, z których każda
jest niepodzielna: dwie identyczne lalki, misia i czołg. Małgosi najbardziej z tych
zabawek podoba się miś, trochę mniej lalki, a czołg wcale nie. Jasiowi najbardziej
podoba się czołg, miś nieco mniej, a lalki go nie interesują. Dzieci uzgodniły, że
najpierw jedno z nich wybierze sobie jednÄ… zabawkÄ™, a potem drugie  dwie z trzech
pozostałych. Czwartą zabawkę bierze dziecko, które wybierało jako pierwsze.
(a) Podać postać ekstensywną gry, w której pierwsza wybiera Małgosia, oraz gry,
w której pierwszy wybiera Jaś, i wyznaczyć równowagi doskonałe obu gier. (Można
przyjąć dla każdego dziecka wypłatę 2 za najbardziej lubianą zabawkę, 1 za średnio
lubianą i 0 za bezwartościową). W której grze pierwsze wybierające dziecko nie bierze
najpierw najbardziej preferowanej zabawki i dlaczego?
(b) Rozpatrzeć wersję gier z p. (a) z niepełną informacją, w których pierwsze wy-
bierające dziecko mówi drugiemu tylko, czy wzięło lalkę, czy nie, i w tym drugim
przypadku drugie dziecko wybiera między wzięciem dwóch lalek a wzięciem lalki i
nieznanej zabawki. Jak zmienia się postać ekstensywna w porównaniu z grą z pełną
informacją? Czy w którejś z nowych gier można przeprowadzić indukcję wstecz?
2. Dwaj gracze na przemian kładą po jednej monecie na początkowo pustym stole,
przy czym zaczyna gracz I, a w każdym posunięciu można położyć 1 zł, 2 zł albo
5 zł. Gra kończy się w chwili, gdy na stole leży co najmniej 12 zł; wówczas gracz,
który dokładał jako ostatni, zabiera ze stołu wszystkie pieniądze. Obaj gracze mają
wystarczająco dużo monet, aby dołożyć dowolny nominał w każdej chwili.
Który z graczy (jeśli w ogóle) ma w tej grze strategię gwarantującą dodatnią wypłatę
i na czym ta strategia polega? Opisać równowagę doskonałą tej gry i podać, jakie
są w niej wypłaty graczy.
Czy odpowiedz
zmieni się w sytuacji, gdy każdy z graczy ma dowolnie dużo złotówek
i dwuzłotówek, ale tylko jedną pięciozłotówkę?
3. Firma A jest monopolistÄ… na pewnym rynku, z czego osiÄ…ga zysk 15. Wie jednak,
że wejście na ten rynek rozważa potencjalny konkurent - firma B. Jeżeli B wejdzie
na rynek i A się do tego dostosuje, wówczas każda z firm będzie zarabiać po 5. Jeżeli
jednak A rozpocznie wojnę cenową, to każda z firm poniesie stratę w wysokości 1.
Jeśli B zrezygnuje z wejścia, zarobi 2.
(a) Narysować drzewo tej gry i wyznaczyć jej równowagę doskonałą. Czy gra ma
inne równowagi?
(b) Przypuśćmy, że rozpoczęcie wojny cenowej przez firmę A wiąże się nie tylko z
obniżeniem ceny, ale także z przygotowaniem filmów i ulotek reklamowych informu-
jących konsumentów o promocji cenowej. Firma A może zlecić tę kampanię i ponieść
jej koszt w wysokości 8 przed decyzją konkurenta, w taki sposób, że B podejmując
decyzję o wejściu (bądz
nie) już wie, czy A zleciła kampanię reklamową. W przy-
padku zwalczania konkurenta obecnego na rynku, i tylko wtedy, kampania zwiększa
przychody firmy A o d = 7, natomiast wypłaty firmy B nie zmieniają się. Narysować
drzewo tak zmienionej gry i wyznaczyć jej równowagę doskonałą.
(c) Jaka jest minimalna wielkość d, przy której firma A w równowadze doskonałej
zleca druk ulotek i produkcjÄ™ reklam?
4. Trzej sprzedawcy, A, B i C, kolejno oferują dużemu klientowi sprzedaż wypo-
sażenia fabryki. Cena nie gra roli, natomiast ważne jest, czy oferta zawiera serwis
pogwarancyjny: każdy sprzedawca zarobi 3, gdy sprzeda produkt bez obowiązku
serwisowania, a 1, jeżeli z serwisem. Decyzją każdego z graczy jest zaproponowanie
serwisu pogwarancyjnego lub nie. Jeśli wszyscy trzej złożą jednakowe oferty, ofer-
ta A zostanie wybrana z prawdopodobieństwem 1/6 , B z prawdopodobieństwem
1/3 , a C z prawdopodobieństwem 1/2. Jeżeli oferty będą różne, klient na pewno
nie przyjmie oferty bez serwisu, a jeżeli serwisowanie zaproponują dwie firmy, to
stosunek prawdopodobieństw ich wybrania będzie taki sam, jaki był przy trzech
p(B) 1/3
2
jednakowych ofertach (np. jeśli będą to B i C, to = = i wobec tego
p(C) 1/2 3
2 3
p(B) = , p(C) = ).
5 5
(a) Podać postać ekstensywną gry, w której wszystkie oferty są publicznie znane,
tj. każdy następny oferent zna wszystkie poprzednie oferty. Wyznaczyć równowagę
doskonałą tej gry, opisując dokładnie strategie w tej równowadze.
(b) Wyznaczyć jedyną równowagę Nasha wersji tej gry, w której wszystkie oferty są
tajne. (Wskazówka: jeden z graczy ma strategię dominującą).
(c) Czy takie utajnienie ofert jest korzystne dla klienta?
5. Gracz M ma pozycję monopolisty na pewnym rynku, dzięki czemu uzyska uży-
teczność 5, o ile na ten rynek nie wejdzie konkurencja. Potencjalny konkurent, gracz
K, operuje na rynku lokalnym, z czego czerpie użyteczność 1, i rozważa wejście
na rynek monopolisty. Jeżeli wejdzie, M musi zadecydować, czy go zwalczać, czy
tolerować; w pierwszym wypadku użyteczność obu graczy wyniesie 0, a w drugim 2.
Przypuśćmy teraz, że przed tą grą M może (ale nie musi) zainwestować 2 w dodat-
kową linię produkcyjną, która zostanie uruchomiona tylko w przypadku zwalczania
konkurenta wchodzącego na rynek, co wówczas zmieni wypłatę M z 0 na 3. Kon-
kurent dowiaduje się o tej decyzji monopolisty przed podjęciem własnej. W razie
takiej decyzji od wszystkich wypłat gracza M trzeba odjąć koszt 2, natomiast wy-
płaty gracza K pozostają bez zmian.
(a) Podać postać ekstensywną tej gry i wyznaczyć jej równowagę doskonałą (podając
dokładny opis strategii) . Czy w tej równowadze M zainwestuje w nową linię i czy
będzie ona użyta?
(b) Podać postać ekstensywną i normalną gry, w której konkurent nie wie, czy mo-
nopolista zainwestował. Znalez
ć wszystkie jej równowagi w czystych strategiach.
6. Dwie firmy, A i B, stworzyły prototypy nowego produktu i zastanawiają się
nad podjęciem jego masowej produkcji. Firma A może wybudować nową fabrykę już
teraz, za rok albo wcale, a firma B  dopiero za rok albo wcale. Za rok będzie jednak
wiadomo, czy popyt na ten towar będzie duży czy mały, i firmy będą mogły wziąć to
pod uwagę podejmując decyzje o budowie, nie będą natomiast znać podejmowanej
równocześnie decyzji konkurenta.
Jeśli obie firmy produkują na duży rynek, to zarabiają po 3, a jeżeli na mały, to
po -2. Ponadto w tej sytuacji (tj. gdy produkuje też B) firma A, inwestując od
razu, dodatkowo zarobi na pierwszeństwie 1 w porównaniu z zainwestowaniem za
rok. Monopolista na dużym rynku osiąga zysk 7, a na małym 2.
(a) Podać postać ekstensywną tej gry. (Zwrócić uwagę, w którym momencie nastę-
puje posunięcie losowe).
(b) Jak powinna postąpić firma B wiedząc, że A zainwestowała od razu?
7. Monopolista operuje na rynku, na którym cena jego produktu jest zadana od-
wrotną funkcją popytu p(q) = (32 - q)+, gdzie q jest wielkością podaży. Dwaj po-
tencjalni konkurenci rozważają wejście na ten rynek, przy czym drugi będzie o tym
decydować dopiero po decyzji pierwszego, a więc może uzależnić swoją decyzję od
tego, czy pierwszy wszedł na rynek, czy nie. Koszt produkcji jednostki towaru wy-
nosi 2, a koszt wejścia na rynek 50. Wszystko to jest wspólną wiedzą wszystkich
trzech graczy.
Naszkicować drzewo tej gry, wyznaczyć jej równowagę doskonałą (podając dokładny
opis strategii) oraz cenę rynkową i wypłaty graczy w tej równowadze.
8. Dwie firmy, A i B, jako jedyne na świecie są w stanie wytwarzać pewien produkt.
Firma A jako pierwsza decyduje, czy go produkować w ogóle i czy budować małą linię
produkcyjną, czy dużą. Następnie analogiczną decyzję podejmuje firma B, znając
już wybór firmy A. Następnie obie firmy równocześnie wybierają wielkość swojej
produkcji. Mała linia produkcyjna umożliwia wytworzenie do 12 jednostek, a duża
do 25 jednostek, przy czym koszt produkcji jednostki wynosi każdorazowo C = 17.
Cena rynkowa jednostki produktu jest dana wzorem p = 65 - Q, gdzie Q jest Å‚Ä…cznÄ…
wielkością produkcji. Budowa małej linii produkcyjnej kosztuje KM = 240, a dużej
KD = 420. Firma nie budująca żadnej linii zarabia 0 i nie ponosi kosztów.
(a) Przy założeniu, że gracz, który zbudował małą linię produkcyjną, w równowadze
każdej podgry następującej po tej decyzji wybierze maksymalną możliwą produkcję
(12), obliczyć wielkości produkcji i wypłaty w równowadze każdej podgry ostatniego
etapu gry.
(b) Narysować drzewo gry z pełną informacją powstającej z wyjściowej gry przez
zastąpienie każdej jej końcowej podgry wierzchołkiem końcowym z wypłatami w
równowadze tej podgry. Znalez
ć równowagę doskonałą tej gry i opisać strategie w
równowadze doskonałej. Jakie rzeczywiste zjawisko ekonomiczne opisuje ta równo-
waga?
(c) Czy istnieje równowaga gry z punktu (b), w której obaj gracze budują małe linie
produkcyjne? Jeśli tak, to jak wygląda i czy jest doskonała? Uzasadnić odpowiedz
.
(d) Udowodnić, że założenie przyjęte w punkcie (a) jest prawdziwe.
9. Monopolista produkujący pewien towar ustala cenę h, po której będzie go sprze-
dawać do sieci hipermarketów, po czym ta decyduje o wielkości zamówienia. Cena
detaliczna, po której hipermarkety sprzedają towar konsumentom, jest wyznaczona
q
przez odwrotną funkcję popytu p(q) = 120 - , gdzie q jest ilością towaru na
400
rynku (jak w modelu Cournota). Koszt produkcji wynosi C(q) = 20 · q.
(a) Wyznaczyć równowagę doskonałą tej gry.
(b) Porównać cenę producenta, wielkość produkcji oraz łączny zysk producenta i
sieci hipermarketów w tej równowadze z odpowiednimi wielkościami w sytuacji, gdy
monopolista sprzedaje swój towar bezpośrednio konsumentom.
(c) Która z dwóch sytuacji z punktu (b) jest korzystniejsza dla konsumentów?
10. Pracownik wybiera poziom wykształcenia zawodowego a  liczbę naturalną
"
ze zbioru{0 , 1 , 2 , ... , 16}, co kosztuje go a a, po czym zgłasza się do dużej
firmy z ofertÄ… zatrudnienia siÄ™ w niej. Jego praca jest warta dla firmy 5,4 · a ; z tej
kwoty firma musi zapłacić płacę w, gdzie w może być dowolną liczbą naturalną nie
większą niż 100. Opcją zewnętrzną pracownika jest praca na własny rachunek, na
czym zarobi 4,5 · a. Wszystko to jest wspólnÄ… wiedzÄ… obu stron.
Naszkicować drzewa i znalez
ć równowagi doskonałe dwóch gier: pierwszej, w której
wielkość płacy w proponuje firma, a pracownik przyjmuje tę propozycję albo idzie na
swoje, i drugiej, w której wielkość płacy w proponuje pracownik, a firma zatrudnia
go albo nie. Porównać poziom przygotowania zawodowego i zarobki pracownika oraz
zyski firmy w równowagach doskonałych obu gier.
11. Dwie konkurujące firmy A i B rozważają podjęcie produkcji nowego typu
gadżetu. To, na ile jego produkcja będzie opłacalna, zależy od tego, czy produkcję
podejmie konkurent, a także od nieznanej obecnie wielkości rynku. Rynek może być
mały lub duży; obie firmy oceniają, że prawdopodobieństwo dużego rynku wynosi
0,4 , a małego 0,6 . Na dużym rynku monopolista zarobi na czysto 100 (firma A) lub
120 (firma B), a jeśli będą na nim obecne obie firmy, to zarobią po 30. Na małym
rynku monopolista zarobi na czysto 5 (firma A) bÄ…dz
straci 10 (firma B), a jeśli
będą na nim obecne obie firmy, to A straci 25, a B 40. Żadna z firm nie zna decyzji
drugiej w chwili podejmowania własnej, ale obie wiedzą, że firma B (i tylko ona)
prowadzi badanie rynku i podejmie decyzję znając już jego wielkość.
Podać postać ekstensywną tej gry i wyznaczyć jej równowagę.
12. Trzy siostry dzielą między siebie trzy odziedziczone obiekty: mieszkanie, jacht i
cenny obraz. Uzgodniono następującą procedurę podziału: najmłodsza siostra oznaj-
mia, z którego obiektu rezygnuje, najstarsza zgodnie z tym przydziela jej jeden z
dwóch innych obiektów, a na koniec spośród dwóch, których nie dostała najmłodsza,
jeden wybiera dla siebie średnia siostra. Ostatni z obiektów zostaje dla najstarszej
siostry. Każda z sióstr kieruje się tylko swą preferencją co do przypadającego jej
dobra, nie interesując się tym, której przypadły inne obiekty.
(a) Podać postać ekstensywną gry, w której wszystkie siostry najbardziej chciałyby
dostać mieszkanie, ale najstarsza woli dostać jacht niż obraz, a obie pozostałe od-
wrotnie. (Można przyjąć dla każdego gracza wypłatę 2 za najbardziej preferowany
obiekt, 1 za średni i 0 za najmniej preferowany). Znalez
ć w tej grze dwie równowagi
doskonałe, w których najmłodsza siostra rezygnuje z różnych obiektów. Która z tych
dwóch jej strategii wydaje się Pani / Panu rozsądniejsza i dlaczego?
(b) Pokazać, że gdy każda z sióstr najwyżej ceni sobie inny obiekt, to w równowa-
dze doskonałej każda dostanie najbardziej preferowany. Opisać dokładnie strategie
wszystkich trzech w tej równowadze.
13. Dwaj gracze targują się o podział sumy 19,99 zł. Pierwszą propozycję podziału
składa gracz I. Jeśli gracz II ją odrzuci, to z sumy 19,99 ubywa 6 zł i gracz II
składa propozycję podziału mniejszej sumy; jeśli ta z kolei zostanie odrzucona przez
gracza I, to gra się kończy i obaj gracze dostają po 5,50 zł, a resztę zabiera arbiter.
Przyjęcie którejkolwiek propozycji także kończy grę i wtedy następuje uzgodniony
podział. Zakładamy, że legalne są tylko takie propozycje podziału, w których oferent
otrzymuje całkowitą liczbę złotówek (czyli np. pierwsza propozycja gracza I musi
być postaci: n zł 99 gr dla ciebie, 19 -n zł dla mnie). Gracze nie dyskontują wypłat.
Narysować fragment drzewa tej gry z co najmniej jedną gałęzią każdej możliwej
długości. Znalez
ć jej równowagę doskonałą i podać pełny opis tworzących ją strategii
oraz otrzymany podział.
14. Dwaj gracze targują się o podział sumy 100 zł, przy czym możliwe są tylko takie
podziały, w których każdy dostaje całkowitą liczbę złotówek. Pierwszą propozycję
podziału składa gracz I. Jeśli gracz II ją odrzuci, to składa kontrpropozycję; jeśli
ta z kolei zostanie odrzucona przez gracza I, to gra się kończy i obaj gracze dosta-
ją po 50 zł. Przyjęcie którejkolwiek propozycji także kończy grę i wtedy następuje
uzgodniony podział. Użyteczność z uzyskania przez gracza i sumy x zł po k odrzu-
k
conych propozycjach wynosi x · ´i . Narysować fragment drzewa tej gry. Znalez
ć jej
równowagę doskonałą i co najmniej jedną równowagę niedoskonałą i podać podziały
otrzymane w tych równowagach
(a) przy ´1 = 5/6, ´2 = 4/5 ,
(b) przy ´1 = 4/5, ´2 = 5/6
(uwaga: w tym przypadku równowag doskonałych jest więcej).
15. Sprzedawcy lodów na plaży  wersja sekwencyjna (trudniejsze). Trzej gracze, A,
B i C sprzedają lody tego samego producenta, który ustala cenę sprzedaży i płaci
graczom proporcjonalnie do liczby sprzedanych przez nich lodów. Plaża dzieli się na
5 równych sektorów, do każdego z nich prowadzi (pośrodku sektoru) jedno wejście od
strony promenady. Gracze podejmują w kolejności alfabetycznej (A, B, C) decyzje
o wyborze wejścia na plażę, przy którym postawią swoją budki z lodami; graczowi
wolno zająć tylko wolny sektor, tj. taki, w którym jeszcze nie stoi budka innego
gracza. Wszystkie sektory plaży są jednakowo zatłoczone plażowiczami. Wiadomo,
że każdy plażowicz kupi dokładnie jedną porcję lodów w budce, do której ma najbli-
żej, a jeżeli ma najbliżej do dwóch budek, to wybierze losowo jedną z nich. Zarobek
sprzedawcy z obsłużenia jednego pełnego sektora plaży wynosi 10, a z połowy sek-
tora 5.
Przyjmujemy dla uproszczenia, że gracz A zajmie sektor numer 1, 2 lub 3
(a) Narysować drzewo tej gry z wypłatami graczy w wierzchołkach końcowych.
(b) Czy istnieje równowaga tej gry, w której gracz A zajmuje sektor numer 3, i czy
istnieje równowaga doskonała o tej własności? Uzasadnić odpowiedz
.
(c) Wyznaczyć metodą indukcji wstecz co najmniej dwie równowagi doskonałe tej
gry. Czy istnieje równowaga doskonała, w której jeden z graczy uzyskuje wypłatę
większą niż 20?
16. Trzy karty  król, dama i walet  zostały starannie potasowane, po czym
gracze I i II dostają po jednej. Gracz I musi zdecydować, czy wchodzi do gry, czy
pasuje. Jeśli pasuje, płaci 10 zł graczowi II i gra się kończy. Jeśli wchodzi, gracz
II musi zadecydować, czy pasuje, czy sprawdza. Jeśli gracz II pasuje, płaci 10 zł
graczowi I. Jeśli sprawdza, karty zostają odkryte i gracz, który ma niższą kartę,
płaci przeciwnikowi w zł (w > 10).
(a) Przedstawić tę grę w postaci ekstensywnej. (Zacząć od posunięcia losowego i
dobrze zaplanować rysunek drzewa).
(b) Czy racjonalny gracz II z jakÄ…Å› kartÄ… na pewno sprawdzi? Czy z jakÄ…Å› kartÄ… na
pewno spasuje? Uzasadnić odpowiedzi.
(c) Czy racjonalny gracz I z jakÄ…Å› kartÄ… na pewno wejdzie? Czy z jakÄ…Å› kartÄ… na
pewno spasuje? Czy odpowiedz
zależy od w? Uzasadnić odpowiedzi.
(d) Czy ta gra ma równowagę w czystych strategiach? Wskazać tę równowagę lub
udowodnić, że nie istnieje.
(e) Wyznaczyć strategie optymalne i obliczyć wartość tej gry, gdy w = 20.