DSC07019 (6)

1

Ciągi liczbowe

Przykłady

Podstawowe określenia • Przykład 11

peduaie meto kliku podatkowych wyrazów podanych ciągów znaleźć ich

a) (O - '7.3,-1.-5....):    b) (A.) = (8,12,18,27,...);

c) (e.) - (1,0; 1.0....);    d) (d.) - (1,11,111.1111... );

«*) >«, - ;7.7.9.9.7.7.9.9.    f) (/„) = (1,3.0.10. 15,21,...).

») Łat-. ckmżyć. ar donice między kolejnymi wyrazami ciągu (o„) M    zatem

jwt « nągra Mył—iyi iiijih. W tym ciągu mamy «i “ 7 oraz r » —4. Stąd

^,^^(r.l)r«7ł(li-w 11    «^{dz,e n e N}-

k) 7.■ ■!■,. w jooay    wytaoóir ciągu (A») •*    ^zalo,n l""^{1 on c}‘**^ian 8m-

■“łwya Wt»maąpa«ią4i a»««ł* j

c)    Rozważany ciąg jest okresowy o okresie 2. W rozwiązaniu wykorzystamy ciąg

który takie ma okres 2. Ponieważ 1 = ■ - oraz 0 = —więc poszukiwany wzór ma posiać

c,. = - ^v ₂^—, gdzie n € N.

d)    Kolejne wyrazy ciągu (d«) są sumami początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (1.10,100,1000,...). Rzeczy wiicie mamy

di |

da = tl =» i + 10,.

da = [tli

<u = mi = i + io+loo+1000.

Korzystając ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego otrzymamy

d_n = 1 +10 + IG* +... += l•    = ^lQn.-¹, gdzie n € N.

e*) Zauważmy najpierw, że liczby 7 i 9 można przedstawić w postaci 7 = 8 + (-l)”"\    9=8 + (-X)%

Wystarczy więc znaleźć ciąg, który przyjmuje kolejno dwie wartośd nieparzyste, następnie dwie parzyste i tri. Takim ciągiem jest np. E    . Zatem ostatecznie mamy

e_n = 8 + (—1)

f*) Dla liczb naturalnych Ar = 2,3,4,5..... n obliczamy różnice /* ~ /*_i- Mamy /a — fi = 2, J: — /j = 3, /» — /* = 4, /» — /« = 5,    , /« — /ń-i = n.

Dodając stronami te równości otrzymamy

/n — /i = 2 + 3+4 +5 + ... + n.

Stąd, ponieważ /i = I, mamy

fn = 1 + ? + 8+4 + 8 + ...łn =

Uwaga. Każde z zadań ma nieskończenie wiele rozwiązań. Inne wzory określające te ciągi mają postać h(n) fC{n - l)(« - 2)(n - 3)... (n-8), gdzie C € R, a h(n) jest podanym wyżej wzorem określającym ciągi (o„), (M. (<*»)• (d_n), (en) lufc» {/*).

• Przykład 1.2

Dla podanydi ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów:

•) ^fln * (n + 10)!, a_n>j; b) b_n = (n + l)ⁿ, 63*1-1;

c)e«»\/r+V^+v'3 + ... + v/n. c_t?

^d'^,:d* ^m "I ¹ (" + i)f * (n +2)!

1# *”2:15 PM