DSC07139 (6)

206

Całki

b) J *^a

°znaczone

COSI ÓE

/(»)«** *'(■)« eozz /'(>)-3x _S(i) = i1bx

= [x^aaii]' - J2xsinx dx

fil

xsin x dr

/(*>*=* »'(*) = .In z /'(=) = « «(*) = - co.!

= —2 icosi]* + Jcosx dx = “2 (-x(-l)+ [sin *]') = —2jt.

«=>

O

/-

dr

/(=)== *'(«) = «— r<*) = i stą =

vs

d) Ja

arcclgx<£r

/(i) = «rccx* i »'(«) = i /'(*> = _r^ *<*> = *

⁼ hH!⁺/

*V5 , 3jt , 1 f. /, . _ax I^    2v/3 + 9    1.

= — ⁺ T ⁺ 2 L^fa C¹ + J _ x = —12—* ⁺ 2 ^{to 2}-

Własności całki oznaczonej

• Przykład 8.6

Obliczyć podane całki oznaczone:

a) y Sgn (z-z³) dz-, b) f E(e*) dx-, 0

r i_    ⁷

c) j y/ź*—2x+l dx-, d) J |x|³dx.

o    -i

Przykłady

207

Rozwiązanie

W rozwiązaniu będziemy korzystali z nddytywności całki względem przedziału całkowa-

• « *

J J[x)dz = J f(x) dx + J f{x) dx,

gdzie c jest dowolnym punktem między a i 6. a) Zauważmy, że z - z³ = 0, gdy x = —1 lub z = 0 lub z = 1. Zatem z - z³ > 0 dla z < -1 lub 0 < z < 1, z - x³ < 0 dla -1 < z < 0 lub z > 1.

Tak więc, wobec definicji funkcji signum, mamy

f 1 dla x < —1, 0 < z < 1, r³) = < —1 dla -l < z < 0, z > 1,

[    0 dla z — —1, z = 0, z = 1.

sgn (z —z³

Korzystając teraz z własności addytywności całki względem przedziału całkowania mamy 3    i    a

Jsgn (z —z³) dx = Jsgn (z —z³) dx + jsgn (z-z³) dx o    o    l

i    3

= J dx + J (—1) dr = 1 — 2 = —1.

0 1

b) Zauważmy, że e^x jest funkcją rosnącą oraz, że 1 $ e' $ e³ dla 0 $ z $ 2. Zatem na przedziale [0,2] mamy

1    dla 0$z<In2,

2    dla ln2 $ z < ln3,

3    dla In3 §z < ln4,

E(e^x) = ‘ 4 dla ln4 $x<ln5,

5    dla ln5 ^z < InG,

6    dla ln6 $z < ln7,

7    dla ln7$z$ 2.

Teraz korzystając z własności addytywności całki względem przedziału całkowania mamy 2    la Z    lal    Uf

J E(e^x) dx = J Ę{e%dx + J B(c^M)dx + J E(e‘)dx + JE(e*)dz o    o    laa    ^ta4

lal    tał - .    a

+ f E{e*)dx + JB(e^z) dz+ J£(e*) dx

'•ia.łi' "1' .Ti:!**    ^lnT

jjn*^    IM Uf    , -tipi!

= fldx+ f 2dx+ [3 dx + J4dx + J5dx+ J Bdx + J 7dx =

i J* las IM m tal