DSC07137 (5)

202

Całki

©znaczone

Rozwiązanie

Wzór Neatana-Leibniza ma postać

b

J /(i) dx = F(b) — F(a),

O

gdzie F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f. a) Mamy

U

10'

b) Mamy

c) Mamy

^ — i

8    4'

/. 2 j    sin 2x1 Z

d) Mamy

Bp

/3s—1 r 2    l- 2

[r--to(3* ₊ l)]_o = 2-₅ln7.

0

• Przykład 8.3

Korzystając z definicji całki oznaczonej uzasadnić podane równości:

a) 1	lim — ÓHrOO	*+2* + .. Z#:	• + n^2	1 3^5
*>)	lim i	n	71		71 \ TT
	O *00 \	y+1^2 +	n^2 + 2^2	*T - .	' n?+n*J ~ 4
c)	lim 1	s 1	1	J,	1 A p
	«S2c\	1 n	+ 2 ^+ ‘	• • •	n + n) ^1“^2'
•O	lim 1	[ar/, ar . 2* - 8m- + an —			. + sin —^1 = 2;
	«—OG I	L« v n	71		^n / J ’
e)	lim fl-oo	111	\fe* + .

Rozwiązanie

W/lunyumnty wzór podany na początku Przykładu 8.1 a):

lim

n-»

l^a+2 ² + ...+n²

= lim

n—oo

«=1

, w podanym wzorze możemy przyjąć [a, 6] = [0,1] oraz /(«) = *^a. Wzór ten można funkcja /(*) = * jest ciągła, a co za tym idzie także całkowalna na [0,1).

Stąd    i

..    i²+2^a+...+Tt^a r ₂,

3I₀ 3

lim -—3-= x dx =

n—oo    ⁷¹    J

0

b) Mamy

• =1

.‘iS, (^TI⁷ + n² + 2² +"⁺n*+nO "

= lim i

1=1 1 +

Zatem w podanym wzorze możemy przyjąć |a. 6) = [0,1| oraz f(x) = —Wzór ten

można stosować, bo funkcja /(z) = _t , "₇ jest ciągła na przedziale [0,1). Stąd

gj

l + x^:

l

⁺^-⁺^) - /    - [“Hrr

c) Mamy

lim (—i--1--1— +.. 4. —1—₌ li_m IVA

— W+l    n + 2⁺ n + n/ n-So nfan + i

= lim —

n — cc fi

SaB

Zatem w podanym wzorze możemy przyjąć [a,6) = [0,1] oraz f(x) ~~ ^ą._x' ^^z°^{r ten} tnożną stosować, bo funkcja /(z) = jest ciągła na przedziale [0,1). Stąd

X ■

lim |—|--1--ł--j. ₊ _LJ\ ₌ [ JZ-=\in[l+x)ł^lo = to2.

U+l^ri + 2    n + n/ J 1+*

amy

d) M

fei £ Miy■-H S[ H ■