Cialkoskrypt4

206 3, Kinematyka płynu

gdzie

v„ =•

dy

^Vy ' 3x

Zatem

w = V —IV.

X ^{ł v}y-

Sprzężona z w' prędkość zespolona

_    v

W' = v_x + iv =ve^,p, tgp = —,

^Vx

a we współrzędnych biegunowych

x=r-cos©, y = r'sin@, z = x + i'y = r(cos© + isin@) = re¹⁰> v_x - v_r cos © - v_Q sin ©, vy = v_r sin 0 + v₀ cos ©.

Stąd

dw

dz

= v_x - iv_y = v_r (cos © - i sin 0) - i v₀ (sin © + i cos 0) =

= (v_r— i-v₀)(cos© - i-sin©), a po wykorzystaniu wzoru Moivre’a

dw _i0

—-e =v_r-iv_Q.

Zatem

w(z) = 0(x, y) + i'i^/(x, y) = C lnz = C ln(re¹⁰ )= C(lnr + i©). Z porównania części rzeczywistej i urojonej otrzymujemy:

^=00, d> = Cln r.

Wyznaczymy składowe prędkości w układzie biegunowym:

dw _i0 C ;₀ C    .    i©

e =—e =- = v_r-Lv₀, z = re , dz z r

stąd z porównania części rzeczywistej i urojonej mamy:

Ponieważ wzór na potencjał zespolony ma postać: w(z) = Clnz, to opisuje on źródło umieszczone w początku układu współrzędnych.

ZADANIE 3.10.11

Zbadać przepływ określony potencjałem zespolonym:

w(z) = Cz, CeZ,

C = A + iB = De'\ D = Va²+B², tgx = ~.

A

Rozwiązanie

w(z) = (A + iBXx - iy) = Ax + iBx + iAy - By = = Ax - By + i(Ay + Bx)= <t>(x, y) + PF(x, y).

Z porównania części rzeczywistej i urojonej otrzymujemy:

$>(x,y) = Ax-By, ¥(x,y) = Ay+ Bx.

Równanie rodziny linii prądu ma następującą postać:

Ay + Bx = const

i przedstawia rodzinę prostych tworzących z osią układu współrzędnych kąt

[3 = arctg

— —T.

Z kolei równanie linii stałego potencjału O ma postać:

Ax - By = const,

co stanowi rodzinę linii prostych o kącie nachylenia

p=^arctg(xH

Składowe prędkości są następujące:

v_x = A, v_y =-B.

Linie O i są ortogonalne do siebie i tworzą siatkę prostokątną pokazaną na rys. 3.17.

ZADANIE 3.10.12

Zbadać przepływ opisany potencjałem zespolonym w{z) = i'¹C-lnz, CeR¹.