Cialkoskrypt9

176 3. Kinematyka płynu

i prędkość w każdym punkcie obszaru v = 0.

Kryterium istnienia potencjału prędkości

Zbadajmy, czy każde pole prędkości ma potencjał. Jeśli zróżniczkujemy cząstkowo wyrażenie v_x = 30/3x względem y, a wyrażenie v_y - 30/3y względem x, otrzymamy:

dv_x __    3²0    dv_y    _ 3²0    dv_x    _ dv_y

3y    3x3y ’    3x 3y3x ’    3y 3x

Analogicznie, jeśli weźmiemy dodatkowo pod uwagę v₂ = 30/3z, to z porównania drugich pochodnych mieszanych otrzymamy:

3z 3y 3x 3z

Układ tych równań stanowi warunek konieczny i dostateczny istnienia potencjału prędkości, A zatem pole wektorowe prędkości ma potencjał prędkości O tylko wówczas, gdy składowe wektora prędkości v spełniają trzy warunki:

^y__	3v --- = 0,	dv2	-^ = 0,	dvx
3z	dy	3x	3z	3y

Zauważamy, że te wyrażenia są składowymi wektora rotacji. Zatem kryterium występowania przepływu potencjalnego jest warunek:

3vy	3vz	3v	3v	3vx	dy
	--— =0,	rot v V = —--	--^L = 0,	rot,v =—--	--^ = 0
3z	3y	^y 3x	3z	dy	3x

lub w postaci wektorowej roty= 0.

Przedstawione wyrażenia można ująć następująco: jeśli składowe prędkości można wyrazić przez pochodne funkcji skal arowej O:

30    30    30

v_x =--, V_v = —, V =-,

3x ^y 3y    3z

to rotv=0.

Równanie ciągłości ruchu potencjalnego

Potencjał prędkości O nie jest dowolną funkcją miejsca, gdyż jego pochodne, jako składowe prędkości, muszą spełniać warunek ciągłości ruchu cieczy nieściśliwej:

Po podstawieniu w miejsce v_x, v_y, v_z odpowiednich pochodnych względem O otrzymujemy:

V²0) = 0.

a²o> S²0> d²0

-T "*--~ "*---

dx~ dy~ dz‘

Powierzchnie jednakowego potencjału prędkości

Powierzchnią jednakowego potencjału prędkości, czyli powierzchnią ekwipo-tencjalną prędkości, nazywamy miejsce geometryczne punktów w przestrzeni, w których potencjał prędkości <I>(x, y, z) ma jedną i tę samą wartość. Równanie powierzchni jednakowego potencjału prędkości w najogólniejszej postaci jest następujące:

®(x, y, z) = const.

Powierzchnie jednakowego potencjału prędkości tworzą rodzinę o jednym parametrze zmiennym, do przejścia bowiem z jednej powierzchni ekwipotencjalnej do drugiej wystarcza zmiana wartości jednego parametru, jakim jest stała C.

Ponieważ potencjał prędkości <t> jest ciągłą i różniczkowalną funkcją miejsca, przeto

ao ao acp d$ = — dx+— dy+—— dz.

dx dy dz

Dla = const, dd> - 0 mamy równanie różniczkowe powierzchni ekwipotencjalnej prędkości:

act>    d<t>    ao    „    _

— dx+— dy+— dz = Vd?-dF = 0,    dT = i • dx + j • dy + k • dz,

dx    dy    dz

ale v = V<J), więc

v_xdx + v_ydy + v_zdz = V ■ dr = 0.

Równanie V'dT = 0 jest zarazem warunkiem prostopadłości prędkości miejscowej (lokalnej) V do powierzchni jednakowego potencjału prędkości w danym miejscu.

3.7. Równanie Unii prądu

Po wstawieniu zależności:

V

X

dx

■>V_S

ao

dz