Cialkoskrypt3

164 3. Kinematyka płynu

więc

lub

	i	j	k
v x d ś =	vx	v„	V,	= i	Vy Vz	+ j	^Vz Vx +k^Vx Vy
		^v y	* z		dy dz		dz dx | [dx dy
	dx	dy	dz

= 0,

dx

v_y dz - v_z dy = O, v_z dx - v_x dz = O, v_x dy - v_y dx = O

dy

dz

_Vx(x,y,z,t) v_y(x,y,z,t) _Vz(x,y,z,t)

(3.1)

W wyniku całkowania układu równań (3.1) otrzymamy - formalnie rzecz biorąc -trzy następujące związki:

fi (x, y, Ci, t) = O, f₂ (y, z, C₂, t) = O, f₃ (z, x, C_3> t)= 0.

Spośród nich tylko dwa są niezależne.

Powierzchnia prądu jest to powierzchnia utworzona z linii prądu przecinających dowolną Unię, niebędącą linią prądu. Jeśli ta dowolna powierzchnia jest zamknięta, powierzchnia prądu bywa nazywana rurką prądu.

Torem elementu ptynu nazywamy linię, wzdłuż której porusza się element płynu, traktowany w tym przypadku jako punkt, co jest dopuszczalne w związku z założeniem ciągłości płynu.

Jeśli oznaczymy symbolem dś element toru, symbolami dx, dy, dz - jego składowe wzdłuż osi prostokątnego układu współrzędnych, a symbolem dt czas potrzebny na przebycie drogi ds przez element płynu, to możemy napisać równanie różniczkowe toru w następującej postaci:

ds = v(x,y, z)dt,    (3.2)

(idx + jdy + kdz) ~(v_x i + v_y j + v_zk)dt.

Zatem równanie (3.2) możemy przedstawić w nieco odmiennej postaci:

(3.3)

dx    dy    dz

-₌-Ł-=-= dt,

v_x(x,y,z,t) v_y (x, y,z, t) v_z(x,y,z,t)

przypominającej równanie (3.1). Różnica między nimi jest istotna, gdyż w równaniu (3.1) czas jest parametrem, w równaniu (3.3) natomiast zmienną.

W ustalonym polu prędkości kształt linii prądu przechodzącej przez dowolny punkt przestrzeni M₀ (x₀, yo, z₀) jest identyczny z kształtem toru każdego elementu płynu przechodzącego przez ten punkt.

Definicja obwiedni

Rozważmy najpierw praktyczne zadanie z teorii profilów, w którym wokół szkieletowej profilu wyznacza się zarys profilu przez nanoszenie okręgów o rosnącym, a następnie zmniejszającym się promieniu (rys. 3.1).

Rys. 3.1. Wyznaczanie zarysu profilu jako obwiedni okręgów

Unia styczna do wszystkich okręgów tworzy kontur profilu. Współrzędne środka okręgu i promień są ze sobą ściśle powiązane, możemy więc napisać równanie okręgów w postaci:

F(x, y,c) = 0,

gdzie parametr c wyznacza jednoznacznie okrąg. Przez zmianę parametru c uzyskujemy kolejne okręgi. W istocie gdyby dwa kolejne okręgi były nieskończenie blisko siebie, to ich punkt przecięcia tworzyłby kontur profilu, zatem muszą zachodzić równości:

F(x,y,c) = 0 i F(x, y,c + h) = 0,

a stąd

w \ ^ ■ F(x,y,c + h)-F(x,y,c) _A F(x,y,c) = 0 i —-'---- = 0,

więc w szczególności dla h —> 0 mamy:

F(x,y,c) = 0 i |_imF(x.y.c ₊ h)-F(x.y.c)_;;i|F₌₀ ^v J '    h->0    h    8c

Te dwa równania po eliminacji parametru c wyznaczają linię styczną do krzywej F(x,y,c). Linię tę nazywamy obwiednią rodziny krzywych F(x,y,c) = 0.

Dla przykładu, niech szkieletowa profilu będzie odcinkiem prostej leżącym na odcinku <0, 1> (rys. 3.2), a rodzina okręgów ma równanie:

(x -c)² + y² =a-c(l-c) = r², ce{0,l),

przy czym r - 0 dla c = 0 i c = 1, czyli na końcach szkieletowej. Powyższą zależność możemy napisać również w postaci:

F(x,y,c) = (x - c)² + y² -a-c(l-c) = 0, ce (0,l),