Cialkoskrypt2

202 3. Kinematyka płynu

202 3. Kinematyka płynu

50 _T 50 -

5x 5y - 54' t dV-

v = v_x i + v_y j = gradO =    i + j

oraz potencjału prądu \j/:

V = V,1 + V_vj =—1--1

^{x y} 5y 5x ^J Ponieważ iloczyn wektorowy wektorów równoległych V x V = O, przeto

V x v =

I	~T J	k		50	50
50	50	0	= k	5x	5y
5x	5y			d¥	54'
54'	54'	0		5y	5x
5y	5x

50    54' 50 >

5x 5x 5y 5y

•k = 0-k,

co prowadzi do warunku ortogonalności linii O i ¥:

VO ■ V4^/ = •

50 54^    50 54^

5x 5x 5y 5y

= 0.

Dla zadanego pola 54'

5y

= ^vx =a,

54^/    ,    50    50

-= v _v = b oraz — = v_y = a,    — = v_u = b.

5x ^y    5x    5y ^y

Po scalkowaniu otrzymujemy:

4^/(x,y) = a^x-by + C, 0(x,y) = ax + by + D.

Widoczne jest, że linie prądu stanowią rodzinę prostych równoległych o równaniu 4' = ay - bx = const. Na rysunku 3.15 strzałkami zaznaczono kierunek przepływu (a>0, b>0), gdyż linia prądu jest linią pola wektorowego prędkości, a zatem jest styczna do wektora prędkości. Kąt nachylenia wektora prędkości v do osi x

^v _y b

tga = — = — , stąd a = arc tg

^vx ^a

Jeżeli przepływ jest skierowany wzdłuż osi x (v_y = 0), to

O - ax, ¥ = ay, VO ■    - a • 0 + 0- a = 0 ,

a przy przepływie skierowanym równolegle do osi y (v_x = 0) mamy:

O = by,    ^vF = bx, VO-= 0-b + b-0 = 0.

ZADANIE 3.10.9

Dany jest potencjał prędkości w postaci: = tn^/x² + y². Zbadać przepływ.

Rozwiązanie

Ze związku pomiędzy potencjałem prądu (funkcją prądu) a potencjałem prędkości

dx dy

wyznaczymy funkcję \\r.

f-^-dy + C(x) = f    dy + C(x) = arctgf-l + C(x).

^J dx    ^Jx" + y

Dla wyznaczenia stałej całkowania C(x) zróżniczkujemy to równanie względem x,

stąd		y
	dx	2 x +y“
ale	_	do
	dx	8y

x" + y‘

+ C'(x),

więc z porównania obydwóch wyrażeń mamy C’(x) = 0 lub C(x) = const. Z dokładnością do stałej

'F = arctg