Cialkoskrypt8

174 3. Kinematyka płynu

Wtedy

1 Ap

rot V = k

i z porównania mamy

-.....— (2y ~ h) + ------

2p Ax ^V    h

= T - rot_xV + j • rot V + k • rot_zV

rot„V = rot V =0,

rot„V =

L.^E(_2y._{h) +} IC^

_2n Ax^v ' h

Pierwsza część otrzymanego wyniku odpowiada wirowości związanej z gradientem ciśnienia, natomiast druga jest związana z wirowością wy wołaną tylko ruchem ścianek. Dla zerowego gradientu ciśnienia: Ap/Ax = 0 mamy ruch cieczy wywołany tylko ruchem płyt - przypadek na rys. 3.6a; jeśli Ap/Ax <0, zachodzi sytuacja z rys. 3.6b, a jeśli v, = v₂ i Ap/Ax < 0 - z rys. 3.6c.

W przypadku płynu wektor prędkości kątowej jest funkcją współrzędnych miejsca i dlatego można wyprowadzić związek pomiędzy całką liniową (cyrkulacją) a całką względem powierzchni, co stanowi twierdzenie Stokesa:

gdzie v jest wielkością wektorową prędkości, A powierzchnią ograniczoną zamkniętą linią L, kąty zaś a, (3, y są kątami zawartymi między osiami układu x, y, z a kierunkiem wektora normalnego n do powierzchni A.

Z definicji rotacji wynika, że

rotv =

3y

dv_y ^N-dz _>

i +

		ll+	' dvy
dz	dx	J^J	v dx

\

k,

7

a po porównaniu jej z twierdzeniem Stokesa o cyrkulacji

f = f v_sds = JJn • rotv - dA = JJ rot_n vdA = {{ 2co_ndA.

LA    AA

Z powyższej relacji całkowej wynika, że cyrkulacja wzdłuż dowolnego obwodu L w przestrzeni jest równa sumie natężeń wirów przecinających powierzchnię A naciągniętą na obwód L i obowiązuje dla obszarów ograniczonych krzywą zamkniętą nieprzecinającą się. Wyrażenie v_ndA oznacza elementarny strumień objętości (elementarne objętościowe natężenie przepływu) przez powierzchnię dA. Przez analogię wyrażenie co_ndA występujące w powyższej zależności nazywane jest strumieniem wirowości przez powierzchnią dA. Pozwala to wyrazić twierdzenie Stokesa w następujący sposób:

Cyrkulacja prędkości wzdłuż obwodu zamkniętego L jest równa podwojonemu całkowitemu strumieniowi wirowości przez powierzchnię A naciągniętą na obwód L. □

3.6. Ruch potencjalny trójwymiarowy

Ruchem potencjalnym cieczy nazywamy ruch cieczy doskonałej, który może być wywołany i utrzymany siłami zewnętrznymi mającymi potencjał. Może on zatem zachodzić jedynie w polu potencjalnym sił, określonym potencjałem sił masowych. Składowe prędkości ruchu potencjalnego określa jednoznacznie funkcja skalarowa, zwana potencjałem prędkości.

Mimo że pojęcie potencjału ma charakter abstrakcyjny, za jego pomocą rozwiązujemy różne zagadnienia mechaniki cieczy o dużej doniosłości praktycznej.

Potencjał prędkości

Jeżeli rzuty wektora prędkości v w dowolnym punkcie cieczy poruszającej się ruchem potencjalnym można przedstawić jako pochodne cząstkowe pewnej funkcji skalarowej d? (x, y, z):

v = Vd>

to d<D/ds wyznacza składową prędkości v w kierunku Ś, gdyż dd> - Vd>ds , stąd

= Vd>-ś° = V‘ś°

= v.

dd>    ds

— = Vd> — ds    ds

W równaniu tym symbol Ś° oznacza wersor wektora s. Z jednej strony wektor prędkości przy ruchu niewirowym cieczy doskonałej powstaje przez różniczkowanie potencjału prędkości <D w kierunku stycznym do linii prądu, z drugiej zaś wektor 7 możemy wyrazić za pomocą składowych w układzie prostokątnym:

..    -rd® -rd® _rdO

7 = i • v_v + i ■    + k ■ v, = gradcp = Vd> = i —+ j--------h k —

^{x J y z S}    dx ^J dy dz

stąd

Aj)

dz

Z powyższych równań wynika, że jeżeli O = const w całym obszarze, to dd> = 0, stąd