Cialkoskrypt 0

178

3. Kinematyka płynu

do równania linii prądu:

dx _ dy _ dz

otrzymamy:

30 30 30 dx:dy:dz= ——:—~ 3x 3y 3z

Płaski ruch potencjalny

Rozpatrzmy przypadek płaskiego ruchu cieczy doskonałej (nielepkiej), odbywającego się pod wpływem sił zachowawczych (sił mających potencjał P = VU), np. w płaszczyźnie xy. Z powodu zniknięcia składowej prędkości w kierunku osi z równanie ciągłości przepływu przyjmuje postać:

av,₊ii₌₀.

3x 3y

Po uwzględnieniu związków

30    30

otrzymamy:

3²0 3²0 3x²    3y²

= 0.

Przyrost potencjału prędkości przy przejściu do sąsiedniej powierzchni stałego potencjału określa różniczka zupełna:

30    30

dO = —~-dx + —— dy = v_xdx + v dy,

3x    3y

Przejściu temu odpowiada linia prądu, której równanie różniczkowe jest postaci: — = — lub v_xdy-v_ydx = 0, łub dT = -v_y -dx + v_x -dy = 0.

^Vx ^Vy

Wyrażenie to stanowi różniczkę zupełną pewnej funkcji ^XF

3^    3T

d^ = - v_ydx + v_xdy = —-dx + —— dy , 3x    dy

przy czym 'F nazywamy funkcją prądu. Równanie

^(x,y) = const

przedstawia układ linii krzywych zwanych liniami prądu.

WM

3. Kinematyka płynu

179

Zależność między funkcją prądu a potencjałem prędkości

Równanie różniczkowe funkcji prądu

_ dy , dy .

=-dx +-dy

dx dy

pozostaje w zgodzie z wyprowadzonymi wyżej równaniami jedynie pod warunkiem, że

v =•

dy

^Vy 'dx

Z tego warunku po porównaniu z równaniami:

ao    ao

^vx = —, V_y =~—

ax    ay

wypływają związki zwane równaniami Cauchy’ego-Riemanna\

.    ao_ ay

dx dy ’    dy <9x ’

przybierające po cząstkowym zróżniczkowaniu względem x, a potem y postać równania różniczkowego:

a²d> d²y

a²$

d²y

dydx dy² ’    <9xdy dx²

Ponieważ d²0/(dydx) ~d²of(dxdy) (jeśli są ciągłe - twierdzenie Schwarza), to po odjęciu tych wyrażeń stronami otrzymujemy wzmiankowane równanie różniczkowe:

• = 0.

d²W

dx² dy²

Funkcja prądu spełnia takie samo równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu jak potencjał prędkości przynależny do tego potencjału prądu. Po pomnożeniu przez siebie równania Cauchy’ego-Riemanna otrzymamy:

dcp dy dO dy _ _ _ _A

— —- +--= VO- Vvi/-0.

dx <9x dy dy

Powyższe równanie jest warunkiem ortogonalności (dwóch wektorów V0 i Vvp) dwóch układów linii:

0(x,y) = const i ^vF(x,y) = const.