Cialkoskrypt0

218 3. Kinematyka płynu

Rozwiązanie

Ad I. Równanie linii prądu ma postać:

^ = stąd ^dX - ^dy

x +1 -y +1

a po scałkowaniu otrzymujemy (t jest parametrem):

ln(x +1) = - ln(-y +1) + InC, ln(x + tX~y + t)- InC,

(x + t)(-y + t)=C - rodzina hiperboli. Ad 2. Równanie linii toru jest następujące:

dx

dy

^V’⁼¥ ^{= X + t}' ^{Vy =} dt" ^{= _y + t}'

Rozwiążmy najpierw równanie jednorodne:

stąd

dx _    dy _

— = x,    — = y,

dt

dt

dx , dy , — = dt,    dt,

a po scałkowaniu

x = Ce\ y = De ^ł,

Dla rozwiązania równań niejednorodnych uzmienniamy stałe, wtedy x(t) = C(t)-e‘_>    y(t) - D(t)-e~\

Po zróżniczkowaniu i wstawieniu x' (t) i x(t) (podobnie czynimy z y(t)) do równań wyjściowych uzyskamy:

stąd

C'e^r + Ce‘ = Ce' +1 i D'e^l -De¹ = -De"' +t, C'(t) = t • e~‘ i D'(t) = t-e\

a po scałkowaniu

C(t) = -(t +1) • e- + C₀ i D(t) = (t -1) - e^f + D_c

i ostatecznie

x(t) = C(t) • e^l = -(t +1) + C₀e^l, y(t) = D(t) ■ e"¹ = t -1 + D₀e“^!.

Widać, że w przepływie niestacjonarnym równania linii prądu i toru są różne. Ad 3. Z różniczkowania równania linii toru uzyskamy pole przyspieszeń:

dx

dt

= x + t = Ce‘ -(t +'l)+1 = Ce¹ -1,

a_x =^ = Ce' =x + t + l, dt²

= -y +1 = -De~‘ - (t -1)+1 = -De^-' +1, dt

= ~-r ^{= De}"^t = y-(^t~¹)-

dt

Ten sam wynik można uzyskać z wyrażenia na pochodną substancjalną prędkości:

dV dv    dv    d9

2 =— = — _{+ v +v}— + v_z—, dt    dt    9x    ^y dy dz

v = Tv_x + ] y + ^kvz = K^x + 0 + j(-y +• t),

3v ,

— ⁼ i + J,

dt

dV_ _ -r dv _ dx    dy ^

więc

a= i + j + T(x + t) + (-j)(-y + t) = T(x + t + l)+j(y-t + l), a_x=x + t + l, a_y=y-t + l,

co jest wynikiem identycznym z uzyskanym z różniczkowania równania linii toru.

ZADANIE 3.10.23

Dane jest nieustalone pole prędkości o składowych: v_x -xt oraz v_y=yt.

Znaleźć równanie linii prądu, toru i pole przyspieszeń.

Rozwiązanie

Równanie linii prądu jest następujące:

dx

dy

, stąd

dx _ dy xt yt ’