Cialkoskrypt 2

182 3. Kinematyka płynu

zakrzywiony profil prędkości, wartość ta będzie tym dokładniejsza, im mniejszą wartość będzie mieć pole AA). Ponieważ objętość ta powstała w czasie At, więc odnosząc ją do At, otrzymujemy:

'■M

_AA.^s(^bH(^a) A_łA^._^s(^{t +} At)-^s(^t) . ^V At    At

_ ds(t + 6 At). ąa - _V(_X,y,z, t + Q • At) • AA, 0 < © < 1 .

Gdy przedział czasu At -» 0 , wówczas

AQ = v(x,y,z,t)- AA i dla nieskończenie małej powierzchni dA

dQ = v(x,y,z,t)-dA.

Wielkość Q nazywamy strumieniem objętości (objętościowym natężeniem przepływu). Strumień objętości Q wyraża się w metrach sześciennych na sekundę. Przykładowo wyznaczymy strumień objętości w rurze kołowej o promieniu R dla profilu prędkości płynu lepkiego w ruchu stacjonarnym przy małych prędkościach ruchu (rys. 3.9). Profil ten dla prędkości maksymalnej w osi rury jest opisany wzorem:

Rys. 3.9. Przepływ w kanale cylindrycznym

V = V,

‘-'5

2 1

'M

4

$

Elementarny stumień płynu zawarty w pierścieniach (r, r + dr)

dQ = v • dA = v(r)- 2ra: • dr = 2tt ■ v_r

R²

r ■ dr,

ty

a stąd po scałkowaniu w granicach od r = 0 do r = R mamy:

R/ 3 \

0 = 271 ■ v ■ f r —-—

V    max    3

0 V ^K )

dr = 2n ■ v_r

R^J

= ^A ■ v_5r , V,_r =

więc

=

0 Q

" ttR ² A

Wzór ten zachowuje swoją postać dla dowolnego przekroju A.

3.9. Zasada zachowania masy. Równanie ciągłości przepływu

Równanie ciągłości przepływu wynika z zasady zachowania masy, opiera się jednak wyłącznie na kinematycznych przesłankach. Do niniejszego rozdziału zostało włączone dlatego, że występuje w nim gęstość płynu, która dotąd nie była uwzględniona w zagadnieniach związanych z kinematyką płynów.

Równanie ciągłości przepływu wyprowadzimy z zastosowaniem współrzędnych Eulera. Załóżmy, że ruch płynu został określony względem pewnego układu odniesienia x, y, z za pomocą pola prędkości: v = v(x,y,z,t) oraz pola gęstości

płynu p = p(x, y,z,t). Masa płynu zawarta w obszarze x może się zmieniać wraz z upływem czasu z powodu:

1)    zmiany gęstości płynu,

2)    dopływu przez ściankę powierzchni kontrolnej.

Zmiana masy płynu w obszarze x jest uwarunkowana zmianą pola gęstości płynu w czasie dt (rys. 3.10):

IffMŁŁłlldtdT.

t    dt

Masę, która w tym samym czasie dt dopływa do wnętrza obszaru x przez powierzchnię a, określa wzór:

JJp(-v_n)dcdt.

Zasada zachowania masy wymaga, aby oba wyrażenia były równe. Brak równości pomiędzy obu strumieniami oznaczałby, że w obszarze x istnieją źródła dodatnie „produkujące” płyn lub źródła ujemne (upusty) „pochłaniające” płyn. Po porównaniu obu zależności i skróceniu przez dt otrzymamy ogólną postać całkową równania wynikającego z zasady zachowania masy, zwanego równaniem ciągłości przepływu:

||f^dx+ j]"pv_ndtf = 0.

1    ^    O

Po założeniu różniczkowalności prędkości i wykorzystaniu twierdzenia o zamianie całki powierzchniowej na objętościową otrzymamy:

J]pv_n dc ~ JJ(pv)_n^da = JfJdiv(pv)dx,