Cialkoskrypt 7

192 3. Kinematyka płynu

więc

192 3. Kinematyka płynu

t+-

V ^a7

lub

x(t) = C(t)e = De - — a

a²x 4- abt + b = a²De^at.

W analogiczny sposób uzyskujemy wyrażenie na y(t), mianowicie:

y(t) = Ee 4—|^t —j, E = const,

a²y-abt4-b = a²Ee^_al,

więc po wyeliminowaniu e'^at otrzymujemy:

ax + bt+ — ay~bt4-— = a D • E = D' lub v +

— v,₍ + - =D^r

^a A

Ad 3. Pole przyspieszeń możemy wyznaczyć albo z wyrażenia na pochodną substancjalną, albo różniczkując dwukrotnie wyrażenie na tor. Dla pierwszego przypadku mamy:

_ dv dv dv dv dv _ r - r dt dt dx ^y dy dz * ^{J y}

więc

dv r dv -dv -dv_z - -

— = i —- 4- i —- 4- k—- = lb 4- jb,

dt dt dt a

dV ^dv_v -,dv_{y r} dv. 4- J“~ ⁺ k-

= la, — = -ja,

dx dx dx dx dy

a = ib 4- jb4-(ax 4- bt) • a i 4-(-ay 4- bt) ■ (-aj) =

= i(a²x 4-abt 4-b) 4- j(a²y - abt 4-b) =

= a²De^at •T + a²Ee"^at •].

Z kolei różniczkując dwukrotnie równanie toru, otrzymujemy

d²y

dv

= 0,

A = a^!De“

dt²

oraz

T = a Ee ,

więc a =a²De^al • i 4-a²Ee~^at • j. Otrzymaliśmy zatem identyczny wynik z powyższym.

Jeżeli znane są składowe prędkości v_x, v_y, v_z, to pole przyspieszeń wyznaczymy z wyrażenia na pochodne substancjalne. W przypadku znajomości tylko równań

toru pole przyspieszeń wyznaczymy przez dwukrotne różniczkowanie toru względem czasu.

Ad 4. Dla danych początkowych t = 0 i (x, y) = (-1,-1) z równania toru otrzymujemy wartość stałej D', mianowicie

Stąd po podstawieniu wartości początkowych mamy:

a równanie toru przechodzącego w chwili t = 0 przez zadany punkt (-1,-1) ma postać:

Jest to równanie hiperboli.

ZADANIE 3.10.4

Określić linie pola następujących płaskich pól wektorowych:

1. v = (x - y)T + (x + y)j,

2. v = (x² -y²)i +2xy j,

3. v = xl + (y + /x² +"y²)].

Rozwiązanie

Ad 1. Ponieważ linia pola jest styczna do wektora pola (tutaj jest nim wektor prędkości v), więc jej równanie jest następujące:

dx _ dy dx dy dy _ x + y

v_x v/ ^Są x-y x + y’ dx x-y’

a po podstawieniu y - tx; dy = tdx + xdt uzyskujemy:

1 + f-t + t² ₌ 1 + t²1-t 1-t ’

— x =