Cialkoskrypt4

166 3. Kinematyka płynu

3F    _N n \ .    .    2x + a

-=-2(x-c)-a(l-2c)=0, w,_ęc o = ^

5

x

y

o

Rys. 3.2, Obwiednia rodziny okręgów

Stąd po wyeliminowaniu parametru c z równania F(x,y,c) = 0 otrzymujemy równanie obwiedni w postaci:

lub

+ y² - ~(l + a) =0

Jest to równanie elipsy o środku (xq, yo) = (1/2,0) i półosiach a i b. W szczególno-

ści gdy punkt x = x₀, y = ±b, grubość profilu w tym punkcie 8 = 2b =    . Zatem

współczynnik a² =5 wyraża maksymalną grubość profilu.

Tor elementu płynu określa się również jako obwiednię linii prądu przechodzących przez punkty toru odpowiadające chwilowym położeniom elementu.

3.2. Ruch wirowy

Ruch chwilowy cząsteczki jest złożony z przesunięcia elementarnego i obrotu chwilowego. Każdemu punktowi ciągłego obszaru ciekłego, objętego ruchem wirowym, odpowiada wektor prędkości ruchu postępowego v i wektor prędkości kątowej chwilowego obrotu co, Cieczy objętej ruchem wirowym odpowiadają zatem dwa, ściśle z sobą związane, pola wektorowe: pole prędkości v i pole wirowe co. Jeśli pole wirowe jest ciągłe, to wektor prędkości kątowej wirowania zmienia swój kierunek w sposób ciągły, tworząc tzw. linią wirową (rys. 3.3).

Zatem ze styczności wektorów co i dś mamy: ćóxdś = 0,

Rys. 3.3. Linia wirowa

i J

coxds =

GO* COy COz dx dy dz

ćó x ds =

	COy	(Oz		C0Z	CO*		to*	COy
- i	dy	dz	+ j	dz	dx	+ k	dx	dy

= 0,

wtedy i tylko wtedy, gdy

dz ___ dy

’Z wy

dx dz

COy C0x

C0ydz-{D_zdy = 0 co_zdx. ~ tn*dz = 0 o)*dy -coydx = 0

Stąd z kolei wynika równanie różniczkowe linii wirowej, które zapisujemy w skróconej formie:

dx    dy dz

(0_X    COy CO ^

gdzie co_X! (Oy, co_z, stanowią składowe wektora prędkości kątowej chwilowego obrotu ćo, wzięte w dodatnich kierunkach osi x, y, z prostokątnego układu współrzędnych.

3.3. Obrót chwilowy elementu cieczy

Aby opisać w sposób analityczny obrót chwilowy elementu cieczy, rozłóżmy prędkość kątową chwilowego obrotu co na składowe: co*, cn_y, to_z, wzięte w kierunku osi x, y, z prostokątnego układu współrzędnych. Weźmy pod uwagę podstawę ABCD elementu przestrzennego dx, dy, dz (rys. 3.4) leżącą w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny yz i rozważmy jej stan w danej chwili i po upływie czasu dt, abstrahując od przesunięcia.