Cialkoskrypt1

200 3. Kinematyka płynu

We współrzędnych cylindrycznych: x = rcos(p, y = rsin(p potencjał prędkości jest opisany wzorem:

® = f(r²-2*²)-

• i

Równanie linii prądu ma postać:

dr dz    d<t>    d<t>

— = —,    v, = — = ar, v =~—= -2az,

Rys. 3.13

Rys. 3.14

Powierzchnię stałych wartości potencjału (rys. 3.13) wyraża wzór:

stąd

= 2z²

+ D

a

1

r“

lub

/~~3 27    dr    dz

r = v2z“+D,    — =-,

ar - 2az

a po scałkowaniu

-i    -i    _c2

lnr = lnz ²c lub r = cz ², albo z=—.

Równanie linii (powierzchni) prądu w układzie cylindrycznym jest hiperbolo-idą obrotową (drugiego stopnia). Zatem przekroje powierzchni prądu płaszczyzną wzdłuż osi z prowadzą do równania hiperboli kwadratowej. Równanie różniczkowe linii prądu w układzie kartezjańskim ma postać:

dz _ dy dz _ dy dz _ dy v_z v_y ’ -2az ay ’ z    y

więc po scałkowaniu mamy:

c, >0.

lnz = C[ -2 lny, zy² = Cj, albo z = —~,

y

Linie prądu w płaszczyźnie z-y mają kształt hiperboli kwadratowych. Podobnie postępując, otrzymamy w płaszczyźnie z-x równanie linii prądu w postaci:

dx dz „,    .    _    , t t-'.    2

— =--> 21nx = -lnz + Dinx z = D-> z-x =c₂.

ax -2az

Również w tym przypadku równanie linii prądu jest hiperbolą kwadratową.

ZADANIE 3.10.8

Dany jest potencjał prędkości w postaci: cp = ax + by, a.beR¹. Zbadać przepływ.

Rozwiązanie

Składowe wektora prędkości są wyrażone wzorami:

ao    d& ,

^v‘“^a>    v>~^b-

Stąd prędkość wypadkowa

v = Va² + b²

i jest stała w całym polu prędkości.

Znajdźmy linię prądu. Ponieważ składowe prędkości v_x, v_y są wyrażone funkcją prądu (potencjał prądu) \\i następująco:

dV    dy

^V* ~ dy ’ ^Vy “ 5x ’

więc równanie ciągłości przepływu jest spełnione tożsamościowo:

divv-^ + ^-—f—) + —f-—1--^---^-

dx dy dx ( dy J dy y dx J dxdy dydx

Wektor prędkości v również można wyrazić za pomocą potencjału prędkości <P: