Cialkoskrypt 9

196 3. Kinematyka płynu

196 3. Kinematyka płynu

dx - ■

Po podstawieniu

y - tx,    dy = tdx + xdt

równanie linii prądu przyjmuje postać:

tdx + xdt

t +    + t"

t + yfl + V

1 +

+ 1

+ t'

>/i+t²    Vi+t² t+Vi+1² vVi+t² Jt+>/i+t² t+Vi+t²

Otrzymujemy prostszą postać równania różniczkowego:

dt

r-r dt

t + V1 ■+■1" — t + x —, dx

, (

1-f

dt    dx

=—, dt

Vl + t²    *

t

Vl + t² ’ dx

t+vr+t'

I i

; I

W wyniku całkowania mamy:

In

i + I\ + V

= In x + In C

lub

In-

₁₊>ę

= lnC,

^+A/T² '-²

X_X

+ y

= C, yjx² + y² = Cx² - y|²,

x² + y² = C²x⁴ -2Cx²y + y²,

1 = C²x² -2Cy => 2Cy + l = C²x²,

1    2    1

y = —x--.

2    2C

Zatem równanie linii prądu jest parabolą drugiego stopnia. ZADANIE 3.10.5

Znaleźć dywergencję i rotację pola wektorowego v, gdy: 1. v = (x² + yz) i + (y² + zx)j + (z² + xy)k,

x² + y²

_ _ x i + yj

2. v “ —-—ą

Rozwiązanie

Ad 1.

_ dv_x 9v 5v

div v - —— h--- + —- = 2x -t- 2y + 2z = 2(x + y + z),

dx dy dz

Wektor v opisuje pole bezźródłowe (wtedy diw = 0) na płaszczyźnie x + y + z = = 0. W pozostałych punktach przestrzeni wydajność źródeł diw * 0. Wyznaczymy rotację wektora prędkości V

rotv =

_a_

<3x

j

d_

dy

k

d_

dz

y² + xz

)

\

- i >(x -x)- j - (z-z) + k-(z“z) = Ó.

Zatem pole prędkości v jest polem bezwirowym (potencjalnym). Ad 2. Ponieważ

divv = —

+ y² -2x² +x² +y² -2y'

(x + y y

= o,

rotV =

T	J	k
d	a	d
dx	dy	dz
X	y	0
, . ,2	r/2

(~2xy + 2xy)k ₌ -(x² +y²)²

więc pole prędkości v jest polem bezźródłowym i polem bezwirowym (potencjalnym).

ZADANIE 3.10.6

Ciecz porusza się z prędkością:

1.    v = ai,

2.    v = ai + byj,

3.    v = a i + byj + cz²k.

Znaleźć potencjał prędkości dla zadanych pó! wektorowych prędkości.