1629290286

(13)

(15)

dm = n(x)dx    (3)

Po podstawieniu (3) do (2a) oraz wyspecyfikowaniu sił F_y mamy

H(x)y,„dx = -Q+(Q + dQ) + p(x,t)dx    (4)

Zakładamy jeszcze, że

dQ = Q-dx    (5)

dx

co podstawione do (4) daje równanie

n{x)^-=^+ p{x,t)    (6)

ćł- dx

Po uwzględnieniu założenia (1) i wyspecyfikowaniu Mc z równania (2b) otrzymujemy

0 = -M +(M +dM)+Q^dx+(Q + dQ)^dx

skąd, po pominięciu iloczynu dQ dx jako wielkości małej rzędu drugiego, otrzymujemy związek między siłą tnącą a momentem gnącym w pewnym przekroju

Przywołamy teraz znany z wytrzymałości materiałów (np. [2], t. 1, str. 109) związek między momentem gnącym i sztywnością na zginanie

V = \p(x,t),dx

dzięki którym działanie w sensie Hamiltona przybierze

S - \ } i [bM (y„ >’-HW )’ + 2p(x,l)y]l,dx (14) gdzie pochodne cząstkowe funkcji y oznaczamy przy

użyciu zapisu „oszczędnego”,

np. y,,=dy/dl lub y,_a = d²y/dx².

Racjonalne działanie w ramach metody wariacyjnej polega na zastosowaniu adekwatnego warunku koniecznego stacjonarności funkcjonału. W rozważanym przypadku drgań giętnych belki, kiedy funkcja podcałkowa w (14) zawiera pochodną y,, i drugą pochodną y,_a, musimy zastosować równanie Eulera-Lagrange’a (zob. [4], str. 175). Jednocześnie funkcja podcałkowa w (14) nie zawiera wyrazów z pochodnymi y,_x,y,_n,y,_x,, co umożliwia znaczne uproszczenie przywołanego równania i dla rozważanego funkcjonału przybierze ono postać

3/    d df    d² df

dy dt dy,, dx² dy,„

gdzie / jest funkcją podcałkową we wzorze (14).

W celu uzyskania równania ruchu belki należy wykonać operacje różniczkowania występujące w (15); mamy więc

(8)

Po podstawieniu (8) do (7), a wyniku do (6) otrzymujemy

df/dy,, = MWy„ ć)f/dy,_a = -El(x)y,_a

|- = p(x,t), yy- = M(^x)y„, dy    dl dy„

p(x,l)

(9)

d² df dx² dy,„

dx

(16)

= p(x,t)

(17)

skąd, dla El = const, mamy równanie

(10)

dt dx

znane pod nazwą belki Bemoulliego-Eulera.

Aby rozwiązać równanie (10), należy podać jeszcze warunki brzegowe, które ujednoznaczniają rozwiązanie. Dla belki wspornikowej zostaną one podane w p. 6.

5. METODA WARIACYJNA

Energia kinetyczna, energia potencjalna oraz praca nie-potencjalnych sił zewnętrznych wyrażają się wzorami

(zob. [2])
T = -j | n(x )(dy ldt)^2dx	(U)
V =7 j El (x)(d^2 y I dx^2 )^2 dx	(12)

Po podstawieniu pochodnych (16) do równania (15) i uporządkowaniu wyrazów otrzymujemy ostatecznie równanie drgań giętnych w postaci standardowej

1^7

dx²

które jest oczywiście identyczne z równaniem (9). Podobnie jak w metodzie bilansowej do ujednoznacznie-nia rozwiązania niezbędne są warunki graniczne.

6. ZAGADNIENIE NA WARTOŚCI WŁASNE

Jak wiemy z teorii równań cząstkowych, aby rozwiązanie danego równania było jednoznaczne, trzeba doń dołączyć tzw. warunki graniczne, czyli warunki brzegowe i warunki początkowe. Warunki brzegowe można podzielić na:

>    geometryczne, wynikające z kształtu belki - najczęściej na końcu;

>    dynamiczne, tj. wynikające z obciążenia belki w ustalonym jej punkcie.

5