Cialkoskrypt5

168 3, Kinematyka płynu

Wzdłuż boku AB działa prędkość v_y, wzdłuż boku przeciwległego DC prędkość Vy + 9v_y /3zdz, wzdłuż boku AD - prędkość v_z, a wzdłuż boku przeciwległego BC

prędkość v_z + dv_z/3ydy. Wskutek różnic prędkości po upływie czasu dt prosto

kątny element powierzchniowy ABCD przybierze kształt równoległoboku A’B’C’D\ Bok AB obróci się o kąt +da, a bok AD o kąt -d(3. Średni kąt chwilowego obrotu jest określony wyrażeniem:

da - d(3 _ d(a - j3)

lecz zarazem element łuku

d(3dz -

v_v + -

2 2
3v 'j		3v y
—-dz - vv	dt =	_y_
3z ’J		dz

dzdt,

gdzie

i analogicznie

dP = -~-dt oz

3v

da = —~ dt.

oy

Średnia wartość kąta chwilowego obrotu dookoła osi x (prostopadłej do rysun-

ku)

dCa-P)^ lfgy, ^dvy]_ćt

2    2^    3y    dz J

Przez cykliczne przestawienie indeksów otrzymujemy wartości średnie kątów chwilowego obrotu dookoła osi y i z:

d(y-5) _ 1 f9v_x 3v_zV

2    2^    dz    dx j    ’

d(e-r|) ₌ 1 f _ 8v_x V 2    2^    3x    ć)y J

Różnice

d(a-p) d(y-S) d(s-ri)

_ - . ~

są składowymi kąta chwilowego obrotu dookoła kolejnych osi obrotu, wziętymi w dodatnim kierunku osi prostokątnego układu współrzędnych, a zatem wyrażenia

d(a-p) d(y-5) d(e-rj)

2dt    2dt    ’ 2dt

są niczym innym jak tylko składowymi prędkości kątowej chwilowego obrotu:

'dyz _	aVy"	m _I(	"d_Vx _ d_yz)	1	dyy d\x^
, ay	N ro	2\	^ dz dx )	tóz-2	K dx dy j

3,4. Rotacja wektora prędkości

Rotacją lub wirowością wektora prędkości v nazywamy wyrażenie:

rot v = V x v =

i

3x

J

_a_

3y

k

d_

dz

dy_z

ay

dz

i +

avx

dz

dv_z

3x

j +

3x

avx

3y

Pomiędzy składowymi rotacji rot_xv, rot_y v, rot₂ v a składowymi prędkości kątowej chwilowego obrotu to_x, co_y, (0_Z zachodzą zależności: